【COCI 2009】ALADIN

题目大意

要求维护一个长度为 n 的序列，有两种操作，共 m 个询问。

1. 将区间 [l,r) 上的数进行修改，位置 i 上的数改为 iAmodB
2. 询问区间 [l,r) 上的数的和。

其中 n<=109,m<=105

分析

注意这里是将数模了，询问总和时不模。
离散化以后套个线段树就可以处理好两种询问，问题在于怎么求这样一个东西。

∑ni=0(iAmodB)

考虑将取模转换一下形式。

∑ni=0(iAmodB)=A∑ni=0i−B∑ni=0⌊iAB⌋

左边的很好算，主要看右边的取整求和部分。
几何化地理解一下，实际上它求的是一个以 (0,0),(n,0),(n,nAB) 为顶点的三角形内或边缘上的整点数目（不考虑落在坐标轴上的底边）。
不妨分类讨论。
若 A>B ，则 A 可以写成 A=kB+r ，其中 k,r 都是非负整数。
那么就有

∑ni=0⌊iAB⌋=∑ni=0⌊i(kB+r)B⌋=∑ni=0⌊irB⌋+k∑ni=0i

那么就转化为了 A<B 的情况。
对于这种情况我们不妨反过来算，算矩形点数减去上三角形点数来得到下三角形点数，设 ⌊nAB⌋=m 。

∑ni=0⌊iAB⌋=nm−∑mi=0⌊iBA⌋+diagonal

其中 diagonal 代表落在对角线上的整点，它的值是 ⌊n⋅gcd(A,B)B⌋ 。因为这条直线必定过点 (B,A) ，而它与 (1,1) 形成的线段上有 gcd(A,B) 个整点，每个整点的横坐标之间差了 Bgcd(A,B) 个单位，于是 n 个单位再除一下就好了。

注意到我们的问题转化为了求 ∑mi=0⌊iBA⌋ ，也就是说 A 和 B 调换了位置，那么又转化回了 A>B 的问题。这样子类似于欧基里德算法地计算，时间复杂度是 O(logn) 。

然后剩下的就是简单的线段树维护了。
总时间复杂度 O(nlog2n) 。

后记

要注意取模转化的技巧，以及数论知识的运用。