从一个实例（整数幂指数）进行算法时间复杂度的分析

算法的时间复杂度在于基本步骤（basic steps）的考量。

复杂度	notation	描述
常量（Constant）	O(1)	基本操作的数量为常数，与输入数据的规模无关 n=10^6 ⇒ 1-2 operations
对数（Logarithmic）	O(logn)	操作的数量为 log2n n=10^6 ⇒ 30 operations
线性（Linear）	O(n)	操作的数量与输入数据的规模成正比 n=10^6 ⇒ 5000 operations
平方（Quadratic）	O(n2)
立方（Cubic）	O(n3)
指数（exponential）	O(2n) O(kn) O(n!)	增长非常恐怖

计算整数幂指数的三种思路

f(n)=an

• 遍历相乘

  def exp1(a, n):
      r = 1
      while n:
          r *= a
          n -= 1
      return r

  其基本步骤为（一次迭代）：判断（while） + 乘法 + 减法 == 3
  所以整个循环下来的时间复杂度为： 3n+2⇒O(n)

• 递归版

  def exp2(a, n):
      if n == 1:
          return a
      else:
          return a*exp2(a, n-1)

  递归版本的时间复杂度为仍然采用递归形式进行及分析。 t(n) ：标识当前，则 t(n)=3+t(n−1) ，其中3表示：一次判断，一次乘法，一次减法。

  t(n)=3+t(n−1)t(n)=3k+t(n−k)t(n)=3(n−1)+t(1)=3(n−1)+2

• 递归改进版

  f(a,n)=an=⎧⎩⎨⎪⎪(a2)n/2=f(a2,n/2),a×(a2)(n−1)/2=a×f(a2,n−12),n is evenn is odd

  def exp3(a, n):
      if n == 1:
          return a
      return exp3(a**2, n//2) if n%2 == 0 a*exp3(a**2, n//2)

  n 为偶数时， t(n)=6+t(n/2) ；
  n 为奇数时， t(n)=6+t(n−1)=6+6+t(n−12)
  所以大致可得： t(n)=12+t(n/2)=12×log2n+t(1)
  时间复杂度为： logn

References

[1] 算法复杂度分析