秩1矩阵

所有的秩1矩阵（Rank 1 matrix）都可转化为：

Am×n=um×1vTn×1

一个列向量乘以一个行向量。

秩1矩阵与线性空间理论

如何描述一个空间——基与维数；

比如如下的一个线性子空间， ∀v∈R4,v1+v2+v3+v4=0 ，所有的 v 构成的子空间 S 。它的基和维数分别是多少？

将 v1+v2+v3+v4=0 ，改造成方程组的形式：

Av=0⇓[1,1,1,1]⋅⎡⎣⎢⎢⎢v1v2v3v4⎤⎦⎥⎥⎥=0

秩1矩阵登堂入室，此时的子空间 S 即为 A=[1,1,1,1] 的 零空间（null space）

而求解null space of Am×n 的维数的一般公式是：

dimN(A)=n−rank(A)=n−r

故此时 S 的维数（也即 A 的核空间的维数）为 4−1 （ rank(A)=1 秩1矩阵嘛）。我们接着给出其基的形式，一个主元（第一个位置），三个自由变量（free variable）：

⎡⎣⎢⎢⎢−1100⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−1010⎤⎦⎥⎥⎥,⎡⎣⎢⎢⎢−1001⎤⎦⎥⎥⎥