组合数学 codefoeces300C Beautiful Numbers

...刚开始没看清题意，，原来excellent的前提是good...

我们来认为那个长度为n位的数字为A，A的每一位之和称为B

首先，我们需要分两种情况来讨论。

第一种情况，当a等于b时，说明A里那n位数字全部是a

也就是说，B的值等于a*n,我们只需要验证现在B中每一位的数字是否都等于a就可以了

如果都等于，那么答案就是1，否则答案就是0

第二种情况，当a不等于b时

设a在A中出现了x次，b在A中出现了y次。

因为A的长度是n，所以肯定有x+y = n

B是由A的每一位数字相加而成，所以B最大也只可能是9 * n，也就是n位数中每一位都为9

但是B中只能有a和b两个数字，说明B的个数并不算太多，最多就几千个，所以可以直接暴力枚举出B

又知道，a在A中出现了x次，b在A中出现了y次。B是A中每个数字之和，A中只有a和b。。。

说到这里，很明显了,B=a*x+b*y

所以，x+y = n,B=a*x+b*y，可以直接解出x和y

如果发现x和y不为整数或者有一个小于0，那么就说明这一种B是不满足情况的忽略就行

那么，现在我们已经知道当B为一种情况的时候，x和y的数量了，怎么求种类数呢

其实就是在n个位置中选择x个位置放数字a，其他的位置必须也只能放数字b了，所以就是C(n,x)

绕了一大圈，最后思路非常清晰了

1.特断

2.DFS枚举数字B

3.解方程，得到x和y

4.把所有满足条件的情况，求C(n,x)，并累加取模就是答案

那么如何求C呢，，这个可以百度一下 逆元

这里我直接贴上模板，，以后遇到求组合数，就算暂时理解不了原理，也可以直接打模板了

const int MX = 1000000 + 5;//n的大小
const int mod = 1e9 + 7;//如果模不为质数，这个模板是不能用的！！

LL F[MX], invF[MX];

LL power(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init() {//这个是用来初始化的，记得
    F[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MX; i++) {
        F[i] = (F[i - 1] * i) % mod;
    }
    invF[MX - 1] = power(F[MX - 1], mod - 2);
    for(int i = MX - 2; i >= 0; i--) {
        invF[i] = invF[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}

LL C(int n, int m) {
    if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
    if(m == 0 || m == n)    return 1;
    return F[n] * invF[n - m] % mod * invF[m] % mod;
}

LL A(int n, int m) {
    if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * invF[n - m] % mod;
}

下面是套用了这个模板AC这题的代码

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<functional>

using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;

const int MX = 1000000 + 5;
const int mod = 1e9 + 7;

LL F[MX], invF[MX];

LL power(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ret = (ret * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

void init() {//这个是用来初始化的，记得
    F[0] = 1;
    for(int i = 1; i < MX; i++) {
        F[i] = (F[i - 1] * i) % mod;
    }
    invF[MX - 1] = power(F[MX - 1], mod - 2);
    for(int i = MX - 2; i >= 0; i--) {
        invF[i] = invF[i + 1] * (i + 1) % mod;
    }
}

LL C(int n, int m) {
    if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
    if(m == 0 || m == n)    return 1;
    return F[n] * invF[n - m] % mod * invF[m] % mod;
}

LL A(int n, int m) {
    if(n < 0 || m < 0 || m > n) return 0;
    return F[n] * invF[n - m] % mod;
}

bool check(int n, int x) {
    while(n) {
        if(n % 10 != x) return false;
        n /= 10;
    }
    return true;
}

int a, b, n;
LL solve(int z) {
    if((z - a * n) % (b - a)) return 0;
    int y = (z - a * n) / (b - a);
    return C(n, y);
}

LL DFS(int x) {
    if(x > 9 * n) return 0;

    LL ans = solve(x);
    ans += DFS(10 * x + a);
    ans += DFS(10 * x + b);
    ans %= mod;
    return ans;
}

int main() {
    //freopen("input.txt", "r", stdin);

    init();
    scanf("%d%d%d", &a, &b, &n);
    if(a == b) {
        if(check(a * n, a)) printf("1\n");
        else printf("0\n");
        return 0;
    }

    printf("%I64d\n", DFS(0));
    return 0;
}