矩阵秩 1 扰动的妙用

这是一道很常见的线性代数题目：

 

例题：求 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式，其中\[a_{ij}=\left\{\begin{array}{l}x&i=j\\y&i<j\\z&i>j\end{array}\right.\quad .\]

 

乍一看这个矩阵有点复杂，但是规律也是明显的。

这里要介绍的方法叫做 "秩 1 扰动"，利用的是这样一个简单的事实：设 $A,B$ 是两个方阵，且 $B$ 的秩是 1，则 $f(t)=\det|A+tB|$ 是关于 $t$ 的一次多项式。

应用在这个例子上，令 $f(t)=\det(a_{ij}+t)$，则 $f(t)$ 是 $t$ 的一次多项式且 $f(-y)=(x-y)^n$，$f(-z)=(x-z)^n$，联立方程组解出常数项 $f(0)=\det A$ 来即可。

在求解行列式的时候，通过引入变量，把待求的行列式看做一个或者多个变元的函数，然后找出这个函数可能满足的关系（微分方程、递推关系、根等等）是一种重要的思路。