张量投票(Tensor voting)理论快速入门

本文内容与截图主要参考[A Computational Framework for Segmentation and Grouping,Gérard Medioni, Mi-Suen Lee and Chi-Keung Tang]
(http://download.csdn.net/detail/u010658879/8476737%20A%20Computational%20Framework%20for%20Segmentation%20and%20Grouping)
和A Perceptual Organization Approach to Computer Vision and Machine Learning

算法流程

算法流程图示：

1. Input tokens: 输入点云，分三类：只包含位置信息的点、包含位置和法向信息的点、包含位置和切向信息的点。
2. Encode: 参考输入信息，将输入点云参照下两幅截图图编码成张量(tensor tokens)。每个输入点都对应一个张量。如无特殊说明，后面提到“张量”，都指二阶张量。
   二维张量编码参考：
   
   比如，输入点 p(x,y) 包含法向信息 n(nx,ny) (即棒张量)，则该点编码为张量
   
   S=（λ1−λ2）e^1e^T1+λ2(e^1e^T1+e^2e^T2),
   其中 （λ1−λ2）=1,表棒张量显著性=1;λ2=0,表球张量显著性=0;e^1=n^
   即 S=n^n^T ，其他类型类似。
   三维张量编码参考：
   

3. Tensor Voting:
   This process is similar to a convolution with a mask, except that the output consists of a tensor, instead of a scalar.

   每个输入点都对应一个张量，产生一个张量场,对邻域的不同点有不同的场强影响。二维棒张量场和球张量场如下图左，下右图表示 O 点产生的棒张量场可作用到领域点 P 张量上。
   
   现讨论二维张量的投票过程：先设棒张量对邻域点 p 作用的张量算子 FS(p) ,球张量对邻域点 p 作用的张量算子 FB(p) ,后面会具体提到几种张量算子的具体形式；
   假设输入只有两点 p1,p2 (可推广到无数个点)，分别编码为
   

   S0,i=（λi,1−λi,2）e^1e^T1+λi,2(e^1e^T1+e^2e^T2)=SS0,i+SB0,i,
   下标0表示第0次投票后， i 取值为 p1,p2 。
   Stick vote.点 p1 收集到的棒投票张量就是点 p2 投出的棒投票张量，即 FS(p1) ,一次棒张量投票后点 p1 的张量变为
   SS1,p1=SS0,p1+（λp2,1−λp2,2）FS(p1)
   Ball vote.同理有点 p1 收集到的球投票张量 FB(p1) ,一次球张量投票后点 p1 的张量变为
   SB1,p1=SB0,p1+λp2,2FB(p1)
   
   最后汇总一次投票后的各个点的张量
   S1,i=SS1,i+SB1,i
   
   三维张量场如下图，三维场！！

4. Tensor Decomposition:由于任一张量可分解为球张量、板张量、棒张量的线性组合，一次投票后，各点张量信息得到改善，再次进行张量分解为下图的形式
   
   然后进行二次张量投票，与第一次不同的是，这一次球张量不再有投票权(加速算法的目的)。

5. 几种张量算子(Tensor kernel)
   把二维棒张量作为张量投票基本算子，因为其他几类张量算子都可由棒张量算子推导获得。
   显著性衰减函数
   
   s -曲线长度， κ -曲率， c -控制曲率衰减程度， σ -投票邻域范围， l -两点间的距离
   
   
   基本算子中唯一的变量就是 σ ，只要 O,P 两点定了其他量也恒定了。
   二维球张量算子
   
   R(θ) -旋转 θ 角度的二维矩阵。为求方便，会用累加求和
   

   BSO(P)=∑i=1Kv→iv→Ti
   
   vi are the stick votes tensors with angle 2πKi
   三维球张量算子
   
   三维板张量算子
   

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MATLAB代码仿真：可从github上找到，也可以从[http://download.csdn.net/detail/u010658879/8515907]下载
后来找到更好的tensor voting相关资料（包含伪代码实现，见附录2），下载地址(http://download.csdn.net/detail/u010658879/8514365)