矩阵分析中的QR分解

定理1 (Gram-Schmidt 正交化方法)：

对中子空间的一个基，定义

那么是的一个正交基，此外有

定理2：

一个的矩阵具有单位正交列向量的充要条件是。

证明：

必要性：

因为

所以有

充分性：略。

定理3 (QR分解)：

如果矩阵的列线性无关，那么可以分解为，其中是一个矩阵，其列形成的一个标准正交基，是一个上三角可逆矩阵且在对角线上的元素为正数。

证明：

通过定理1构造的一个标准正交基，且取

满足。

故存在常数使得

可假设 (如果，可以对和都乘以)，这表明是中列的线性组合，且系数是下面向量分量：

即，故

证毕。

示例：求矩阵的一个分解，其中有

。

解：根据定理1可构造得到

结合定理2可得

所以有

解毕。

参考文献：