矩阵分析中的QR分解

定理1 (Gram-Schmidt 正交化方法):

中子空间的一个基,定义






那么的一个正交基,此外有



定理2:

一个的矩阵具有单位正交列向量的充要条件是

证明:

必要性:


因为


所以有


充分性:略。


定理3 (QR分解):

如果矩阵的列线性无关,那么可以分解为,其中是一个矩阵,其列形成的一个标准正交基,是一个上三角可逆矩阵且在对角线上的元素为正数。

证明:

通过定理1构造的一个标准正交基,且取


满足

故存在常数使得


可假设 (如果,可以对都乘以),这表明是中列的线性组合,且系数是下面向量分量:


,故


证毕。


示例:矩阵的一个分解,其中有

解:根据定理1可构造得到


结合定理2可得


所以有


解毕。


参考文献:


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