算法与数据结构-离散数学之容斥定理

　　由某城市一次对居民投资情况调查得知，在被调查的50位居民中，有28人参加银行储蓄，有24人购买债券，有12人既参加储蓄又购买债券，有10人既参加储蓄又购买股票，还有4人同时参加这三种投资．已知12个购买股票的人或者参加储蓄或者购买债券．那么不参加任何一种投资的居民人数有多少呢？

　　这是一个有限集合的计数问题．利用容斥定理和文氏图可以很方便地解决有限集合的计数问题．

　　在计数时，为了使若干集合重叠部分的元素的个数不被重复计算，人们研究出一种计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于这些集合中的所有元素个数先分别计算出来，然后再把计数时重复计算的元素个数排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥定理．

一、容斥定理

　　容斥定理（简单情况）对任意两个有限集合A和B，有

|A∪B|= |A|+|B|- |A∩B|

　　其中|A|，|B|分别表示A，B的元素个数．

　　推广结论：对于任意三个有限集合A,B, C，有

|A∪B∪C|= |A|+|B|+|C|- |A∩B|- |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C|

　　有限集合的计数方法1：

　　利用容斥定理的上述两个公式计算有限集合的元素个数．

　　有限集合的计数方法2：

　　文氏图法，即首先根据已知条件把对应的文氏图画出来，然后将已知集合的元素填入表示该集合的区域内．一般从几个集合的交集填起，根据计算结果将数字逐步填入所有的空白区域内．如果交集的数字是未知的，可以将其设为x，再根据已知条件列出方程或方程组，解出未知数x．

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