Unique Paths

A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked 'Start' in the diagram below).

The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked 'Finish' in the diagram below).

How many possible unique paths are there?

Above is a 3 x 7 grid. How many possible unique paths are there?

思路：

看似简单一道题，就是mxn的格子里从左上角走到右下角有多少种走法，只能向右或向下走。

分析：向下需要 m-1 步，向右需要 n-1 步，所以总的走法就是 C(m-1,  m-1+n-1) 或者 C(n-1， m-1+n-1)。

方法1：开始时想到用递归（回溯法）：

int uniquePathsBackTrack(int m, int n) {

      if(m==1 || n==1) return 1;

      return uniquePaths(m-1, n) + uniquePaths(m, n-1);

 }

只需要着两行代码，但是超时了。然后又想用计算 排列组合的分子、分母，相除的方法，结果错误，说明Note中提示m、n最大为100是有用的，即你计算阶乘时int会溢出的。

方法2：动态规划，定义一个二维数组 A[M][N]，从左上开始依次计算每一行的值，最后返回 A[M-1][N-1]即可，递推方程是：

A[I][J]=A[I-1][J]+A[I][J-1]；

 class Solution {
 public:
     int uniquePaths(int m, int n) {
         vector<vector<int>> v(m, vector<int>(n, 1));
         for(int i=1; i<m; ++i){
             for(int j=1; j<n; ++j){
                 v[i][j]=v[i-1][j]+v[i][j-1];
             }
         }
         return v[m-1][n-1];
     }
 };

还可以继续优化，用一个长度为 n 的一维数组即可，数组元素初始值都设为1，递推方程为：

A[J] += A[J-1]；

        也就是从第二行开始更新数组值，每次都存储当前行的值，到最后一行计算完成后，返回 A[N-1]即可。

 class Solution {
 public:
     int uniquePaths(int m, int n) {
         vector<int> v(n, 1);
         for(int i=1; i<m; ++i){
             for(int j=1; j<n; ++j){
                 v[j]+=v[j-1];
             }
         }
         return v[n-1];
     }
 };