【bzoj2038】小Z的袜子 莫队算法

       学习了一下莫队算法。核心就是在可以通过当前状态(l,r)的结果，能够在O(1)时间内推出相邻状态(l-1,r)(l+1,r)(l,r-1)(l,r+1)的结果的前提下，通过安排询问的次序，使总时间复杂度在O(N^1.5)内。因此这实际上是一个离线算法。同时指出，在满足上述前提的情况下，任意两个状态(l1,r1)(l2,r2)，在已知一个的情况下都可以在O(|l1-l2|+|r1-r2|)的时间复杂度内得到另一个状态的结果，这是显然的。

       现在就本道题进行讨论，实际上本题的答案为：(a(a-1)/2+b(b-1)/2+..)/((r-l+1)*(r-l)/2)=(a^2+b^2+...-(a+b+...))/(r-l+1)/(r-l)=(a^2+b^2+...-(r-l+1))/(r-l+1)/(r-l)，其中a,b,c,d......表示不同颜色的袜子各自的个数，那么我们可以很容易由当前状态的结果推出相邻状态的结果。接下来就是莫队算法的关键：

       将N只袜子分为N^0.5组，然后将询问的区间{l,r}排序：以左端点l所在的块blg[l]为第一关键字，右端点r为第二关键字。这样排序完后左端点在同一个块的内的区间就会被排到一起去了。那么有一下几种情况（下述的点也即区间）：

1.对于在同一块内的点i...j，一方面，对于任意的x,x+1，l的转移都是O(N^0.5)，因为同一块内的任意两点的l的差是在N^0.5以内的，因此总的时间复杂度O(N^1.5)；另一方面，在i...j中，ri,ri+1,...,rj是单调递增的吗，因此在同一块中r的转移是O(N)，由于总共有N^0.5个块，所以总的时间复杂度也是O(N^1.5)；

2.对于不在同一块两点i,i+1，也就是连接两个块的一个点对，这样的点对的个数只有N^0.5个，每次转移最差为O(N)，因此总的时间复杂度还是O(N^1.5)；

       综上所述，莫队算法的时间复杂度为O(N^1.5)；

       然而这道题目的数据不是很强，以至于我手贱将分块时blg[i]=(i-1)/block+1打成了(i-1)%block+1都能17s卡过。。。。。。（block是块的大小），换句话说常数帝可以暴力过呢。。或者说将输入的数据随机打乱就可以过了？

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;

int n,m,c[N],blg[N]; ll p[N],q[N],sum[N],now;
struct node{ int x,y,id; }a[N];
int read(){
	int x=0; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); }
	return x;
}
bool cmp(node aa,node bb){
	return (blg[aa.x]==blg[bb.x])?aa.y<bb.y:aa.x<bb.x;
}
void mdy(int x,int t){
	now+=(ll)(sum[c[x]]<<1)*t+1; sum[c[x]]+=t;
}
ll gcd(ll x,ll y){ return (y)?gcd(y,x%y):x; }
int main(){
	n=read(); m=read(); int i;
	for (i=1; i<=n; i++) c[i]=read();
	int blk=(int)sqrt(n);
	for (i=1; i<=n; i++) blg[i]=(i-1)/blk+1;
	for (i=1; i<=m; i++){
		a[i].x=read(); a[i].y=read(); a[i].id=i;
	}
	sort(a+1,a+m+1,cmp); int l=1,r=0; now=0;
	for (i=1; i<=m; i++){
		while (l<a[i].x) mdy(l++,-1); while (l>a[i].x) mdy(--l,1);
		while (r<a[i].y) mdy(++r,1); while (r>a[i].y) mdy(r--,-1);
		ll t=a[i].y-a[i].x+1; int x=a[i].id;
		p[x]=now-t; q[x]=t*(t-1);
		t=gcd(q[x],p[x]); p[x]/=t; q[x]/=t;
	}
	for (i=1; i<=m; i++) printf("%lld/%lld\n",p[i],q[i]);
	return 0;
}

by lych

2016.1.23