[置顶] 最大二分匹配算法详解（匈牙利）

二分图匹配，江湖称二分匹配，图论相关算法。

现在给出两个集合，我们拿约会来举例子。一方是男生集合，一方是女生集合，女生都比较内敛，对不认识的男孩纸并不喜欢一起约会，所以这里边就要有人际关系的问题了。

这里给男生编号n1,n2.....nn;女生编号v1v2....vn；

下面给出女生认识的男生的列表：
v1 :n1 ,n2. 

v2 :n2, n3.

v3 : n1.

这里显而易见，1号男生2号男生是比较受欢迎的哈~。不用算法思想的去想这个问题我们可以这样思考：三号女生只认识1号男生，匹配上。（1组搞定）这个时候一号女生就不能选择1号男生了，她只能去选2号男生，这时候2号女生也就有了自己能选择的男生，这里我们就匹配成功了：

v1 n2 

v2 n3 

v3 n1

这里我们就完成了匹配的过程，这个时候我们因为所有人都有了约会对象，我们这个时候称之为最大匹配，同时也是完美匹配。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。刚刚给出的例子就是完美匹配。

那么我们要如何实现算法呢？因为代码是不能直接看出来如何匹配能得到最大匹配的，所以我们这里就要有一个顺序去寻找最大匹配，这里我们以编号大小的顺序来寻找约会对象。

从v1开始找，先找到了n1.约上，然后是v2,找到了n2,约上。v3找到了n1,但是这里n1和v1已经约好了，怎么办呢？v1对v3说：我还认识n2,我去问问他有没有约会人选，要是没有的话，n1让给你。（其实我想说她是傻逼。。。。）然后v1去找n2,但是n2和v2约上了，这个时候呢v2对v1说：我还认识n3,我去看看他有没有约会的人选，要是没有的话n2，让给你（这两个傻逼。。。。）然后v2找到了n3,n3乐的屁颠屁颠的，说正好没人约我，然后他俩约上了，v2找到了n3,那么v1就能和v2约上了，然后v3也就能和n1约上了，我们这个时候就从刚刚的两组匹配，转到了3组匹配。

刚刚所述的过程，其实就是在找增广路。（这里增广路的含义自己就可以理解了吧~）那么我们如何用代码实现这个过程呢？其实并不难，我们这里需要三个数组，一个是图，一个是询问vis标记，一个是match匹配。

int map[n][n];//关系图。//这里我们用1表示有关系0表示没有关系
int vis[n];//表示是否询问过这个人 用1表示询问过 0表示没有询问过
int match[n];//数组内数据表示匹配关系：比如match[1]=2表示男1和女2约上了（不一定最后也是在一起的）

然后就是寻找的过程：

int  find(int x)//这里x表示是任何一个女生
{
    for(int i=0;i<n;i++)//这里的i表示男生
    {
        if(vis[i]==0&&map[x][i]==1)//如果这个男生没有询问过（你总不能一直问一个人吧....本来就够逗逼了，你还要缠着人家。。。）并且你和这个男生认识（要找到自己认识的男生啊~）
        {
            vis[i]=1;//标记询问过了
            if(match[i]==-1||find(match[i]))//如果当前女孩纸是来直接找约会对象的，或者是要抛弃当前男孩去找下一个男孩的（而且找到了）。
            {
                match[i]=x;//当前男生和女生约上了（i男x女）
                return 1;//返回找到了~~~
            }
        }
    }
    return 0;
}

然后整个算法就完美实现了。这里对应杭电例题，希望读者可以独立完成：

杭电2063

过山车

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 15776    Accepted Submission(s): 6918

Problem Description

RPG girls今天和大家一起去游乐场玩，终于可以坐上梦寐以求的过山车了。可是，过山车的每一排只有两个座位，而且还有条不成文的规矩，就是每个女生必须找个个男生做partner和她同坐。但是，每个女孩都有各自的想法，举个例子把，Rabbit只愿意和XHD或PQK做partner，Grass只愿意和linle或LL做partner，PrincessSnow愿意和水域浪子或伪酷儿做partner。考虑到经费问题，boss刘决定只让找到partner的人去坐过山车，其他的人，嘿嘿，就站在下面看着吧。聪明的Acmer，你可以帮忙算算最多有多少对组合可以坐上过山车吗？

 

Input

输入数据的第一行是三个整数K , M , N，分别表示可能的组合数目，女生的人数，男生的人数。0<K<=1000
1<=N 和M<=500.接下来的K行，每行有两个数，分别表示女生Ai愿意和男生Bj做partner。最后一个0结束输入。

 

Output

对于每组数据，输出一个整数，表示可以坐上过山车的最多组合数。

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    6 3 3
1 1
1 2
1 3
2 1
2 3
3 1
0
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    3
   
   
   
   

 

这里贴上我的AC完整代码。供新接触这个算法的小伙伴们参考：（提醒，千万把男生女生分清楚了，弄混了就容易WA咯~）

#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
const int maxn = 505;

int map[maxn][maxn];              //记录是否可以匹配，0表示不能，1表示能
int vis[maxn];                  //用在不同队伍匹配是的标记作用
int pri[maxn];
int k,m,n;
int  find(int x)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(vis[i]==0&&map[i][x])
        {
            vis[i]=1;
            if(pri[i]==-1||find(pri[i]))
            {
                pri[i]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        if(k==0)break;
        scanf ("%d%d", &m, &n);
        memset (map, 0, sizeof (map));
        memset (pri, -1, sizeof (pri));
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            map[a][b]=1;
        }
        int output=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            memset(vis,0,sizeof(vis));
            if(find(i))
            output++;
        }
        printf("%d\n",output);
    }
}