二叉树神级遍历算法——Morris遍历(C++版)

题目：

设计一个算法实现二叉树的三种遍历(前序遍历 中序遍历 后序遍历)。

要求时间复杂度为O(n) 空间复杂度为O(1)。

 

思路：

空间复杂度O(1)的要求很严格。常规的递归实现是显然不能满足要求的[其空间复杂度是树的深度O(h) ]。本篇文章介绍著名的Morris遍历，该方法利用了二叉树结点中大量指向null的指针。

常规的栈结构遍历方式，遍历到某个节点之后并不能回到上层的结点，这是由二叉树本身的结构所限制的，每个结点并没有指向父节点的指针，因此需要使用栈来完成回到上层结点的步骤。

Morris遍历避免了使用栈结构，让下层有指向上层的指针，但并不是所有的下层结点都有指向上层的指针([这些指针也称为空闲指针])。

空闲指针的分配规则如下：

1. 当前子树的头结点为head，空闲指针由head的左子树中最右结点的右指针指向head结点。对head的左子树重复该步骤1，直到遍历至某个结点没有左子树，将该结点记    为node。进入步骤2。

2. 从node结点开始通过每个结点的右指针进行移动，并打印结点的值。

  假设遍历到的当前结点为curNode，做如下判断：

curNode结点的左子树中最右结点(记为lastRNode)是否指向curNode。

A. 是 让lastRNode结点的右指针指向null，打印curNode的值。接着通过curNode的右指针遍历下一个结点，重复步骤2。

B. 否 将curNode为头结点的子树重复步骤1。

 

下面举例说明上述步骤(先以中序遍历为例)，二叉树结构如下图所示：

遍历至结点1 发现其没有左子树 记为Node。

curNode : 1 打印1

curNode : 2 满足A 空闲指针由1的右指针指向2 将该空闲指针取消掉 打印2。通过2的右指针遍历到3。

curNode : 3 满足B 进行步骤1 最终打印3。

通过空闲指针遍历至4。

curNode : 4 满足A 空闲指针由3的右指针指向4 将该空闲指针取消掉 打印4。通过4的右指针遍历到6。

至此 左子树和根结点遍历完毕。

curNode : 6 满足B 进行步骤1 之后二叉树变为右图。

遍历至结点5 其没有左子树 记为Node。

curNode : 5 满足B 进行步骤1 最终打印5。

通过空闲指针遍历至6。

curNode : 6 满足A 空闲指针由5的右指针指向6 将该空闲指针取消掉 打印6。

通过6的右指针遍历到7。

curNode : 7 满足B 进行步骤1 最终打印7。

3. 步骤2最终移动到null结点 整个过程结束。

 

总结：

打印某个结点时，一定是在步骤2开始移动的过程中。

步骤2最开始从子树最左结点开始，在通过右指针移动过程中，只有以下两种移动方式：

①移动到某个结点的右子树【此时 左子树和根结点必定已经打印结束】

②移动到某个上层结点(即通过空闲指针移动)【此时 该上层结点的左子树整体打印完毕 开始处理根结点】

 

Morris先序遍历只需要将打印顺序稍微调整一下(调整至步骤1中打印)。

Morris后序遍历同样是需要将打印顺序稍微调整一下，即：逆序打印(不能使用额外的数据结构)所有结点的左子树右边界，在满足步骤2中情况A时打印。

注：

二叉树结点定义如下：
typedef int dataType;

struct Node

{

dataType val;

struct Node *left;

struct Node *right;

Node(dataType _val):

val(_val), left(NULL), right(NULL){}

};

常规的二叉树遍历方式采用栈实现，比较容易实现，下面直接给出代码。

/*************************Morris遍历二叉树*************************/

 

#include <iostream>

using namespace std;

typedef int dataType;
struct Node
{
	dataType val;
	struct Node *left;
	struct Node *right;

	Node(dataType _val):
		val(_val), left(NULL), right(NULL){}
};

// Morris中序遍历 (左 -> 根 -> 右)
void MorrisInOrderTraverse(Node *head)
{
	if (head == NULL)
	{
		return;
	}

	Node *p1 = head;
	Node *p2 = NULL;

	while (p1 != NULL)
	{
		p2 = p1->left;
		if (p2 != NULL)
		{
			while(p2->right != NULL && p2->right != p1)
			{
				p2 = p2->right;
			}
			if (p2->right == NULL)
			{
				p2->right = p1;		// 空闲指针
				p1 = p1->left;
				continue;
			}
			else
			{
				p2->right = NULL;
			}
		}
		cout<<p1->val<<" ";
		p1 = p1->right;
	}
}

// Morris前序遍历 (根 -> 左 -> 右)
void MorrisPreOrderTraverse(Node *head)
{
	if (head == NULL)
	{
		return;
	}

	Node *p1 = head;
	Node *p2 = NULL;

	while (p1 != NULL)
	{
		p2 = p1->left;
		if (p2 != NULL)
		{
			while(p2->right != NULL && p2->right != p1)
			{
				p2 = p2->right;
			}
			if (p2->right == NULL)
			{
				p2->right = p1;		// 空闲指针
				cout<<p1->val<<" ";	// 打印结点值的顺序稍微调整
				p1 = p1->left;
				continue;
			}
			else
			{
				p2->right = NULL;
			}
		}
		else
		{
			cout<<p1->val<<" ";
		}
		p1 = p1->right;
	}
}

// 逆序右边界
Node* reverseEdge(Node *head)
{
	Node *pre = NULL;
	Node *next = NULL;

	while(head != NULL)
	{
		next = head->right;
		head->right = pre;
		pre = head;
		head = next;
	}

	return pre;
}

// 逆序打印左子树右边界
void printEdge(Node *head)
{
	Node *lastNode = reverseEdge(head);
	Node *cur = lastNode;

	while (cur != NULL)
	{
		cout<<cur->val<<" ";
		cur = cur->right;
	}
	reverseEdge(lastNode);
}

// Morris后序遍历 (左 -> 右 -> 根)
void MorrisPostOrderTraverse(Node *head)
{
	if (head == NULL)
	{
		return;
	}

	Node *p1 = head;
	Node *p2 = NULL;

	while (p1 != NULL)
	{
		p2 = p1->left;
		if (p2 != NULL)
		{
			while(p2->right != NULL && p2->right != p1)
			{
				p2 = p2->right;
			}
			if (p2->right == NULL)
			{
				p2->right = p1;		// 空闲指针
				p1 = p1->left;
				continue;
			}
			else
			{
				p2->right = NULL;
				printEdge(p1->left);
			}
		}
		p1 = p1->right;
	}
	printEdge(head);
}

void buildBinTree(Node **head)
{
	dataType _val;
	cin>>_val;

	if (_val == -1)
	{
		*head = NULL;
	}
	else
	{
		*head = (Node*)malloc(sizeof(Node));
		(*head)->val = _val;
		buildBinTree(&(*head)->left);
		buildBinTree(&(*head)->right);
	}
}

int main(void)
{
	Node *head;
	buildBinTree(&head);
	cout<<"前序遍历序列为:";
	MorrisPreOrderTraverse(head);
	cout<<endl;

	cout<<"中序遍历序列为:";
	MorrisInOrderTraverse(head);
	cout<<endl;

	cout<<"后序遍历序列为:";
	MorrisPostOrderTraverse(head);
	cout<<endl;

	return 0;
}

/*************************Morris遍历二叉树 END*************************/

输入：

1 2 3 -1 -1 4 -1 -1 5 6 8 -1 -1 -1 7 -1 -1

输出：

致谢：

本篇文章参考自左神新书《程序员代码面试指南：IT名企算法与数据结构题目最优解》，在此表示感谢。