GDKOI2016 小学生数学题

题目描述

给定 N,K,P ，求
(∑Ni=11i)modPK
若答案不存在则输出-1

数据范围

N∗PK≤1018
P≤105
P 为质数

题解

这道题的确是道不错的数学题。

设 f(n,k)=(∑ni=11i)modPk

那么我们将 1,2,⋯n 分为两类：
1. P 的倍数，设为集合 S
2. 其他，设为集合 T

那么很显然，集合 T 中的数都与 Pk 互质，也就是说存在逆元。那么 f(n,k) 的存在等价于 S 的贡献是存在的。

我们考虑怎么计算 S 的贡献。

很显然的，

S=∑i=1⌊np⌋1i∗p=1p∗∑i=1⌊np⌋1i

但我们这样无法计算 1p 。

考虑一个事实：
若 amodp=c ，那么 (k∗a)mod(k∗p)=(k∗c)

因此，我们可以考虑计算

(∑i=1⌊np⌋1i)modpk+1=f(⌊np⌋,k+1)

然后

S=f(⌊np⌋,k+1)P

当然，这里有一个细节，就是假如 f(⌊np⌋,k+1) 不是 P 的倍数，那么 f(n,k) 就不存在了。

并且可以发现这样递归下去， n∗pk 的值不变，所以 pk 永远不大于 1018 ，但 n 变为了 ⌊nP⌋

那么我们就相当于可以递归到一个子问题求解了。

接下来考虑集合 T 的贡献。

先假设 nmodP=P−1 ，对于其他情况是类似的，只是可以少些边界。

那么集合 T 的数都是这样的形式 (a+i∗P) ，其中 0≤i≤⌊np⌋,0<a<P

所以

T=∑a=1P−1∑i=0⌊np⌋(a+i∗P)−1

但这样还是计不了啊。

让我们考虑一下怎么计 1a+i∗P

我们有以下式子：

1a+i∗P=11+i∗Paa

并且根据等比数列求和，当存在某个 i ，满足 xi→0 时，有

11−x=1+x+x2+x3+⋯

那记 a−1=x ，我么有

1a+i∗P=x∗[1+(−ixP)+(−ixP)2+(−ixP)3+⋯]

又因为我们只需要计算 modpk 下的答案，那么

1a+i∗P=x∗[1+(−ixP)+(−ixP)2+(−ixP)3+⋯+(−ixP)k]

我们将这条式子代入到之前的式子中，可以得到

T=∑a=1P−1∑i=0⌊np⌋(a+i∗P)−1=∑a=1P−1∑i=0⌊np⌋a−1∑b=0k(−ia−1P)b

我们交换一下枚举顺序，可以发现：

T=∑a=1P−1a−1∑b=0k(−a−1P)b∑i=0⌊np⌋(i)b

由于保证了 n∗pk≤1018 ，且 p≤105 ，我们就可以直接枚举 a,b ，可以发现，对于后面的式子就是一个自然数幂和问题。并且式子与 a 无关，所以可以先用矩阵预处理出来。

那么计算 T 的贡献的复杂度就是 O(P∗k+k3)

考虑总体的复杂度，设 T(n,k) 为计算 f(n,k) 的复杂度，那么有
T(n,k)=T(⌊nP⌋,k+1)+O(P∗k+k3)≈P∗k∗logN+k3logN