素数性测试（Robin-Miller算法）

算法分类：

随机算法

算法原理：

输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参数t（用于确定测试轮数）。

输出：返回n是否是素数（概率意义上的，一般误判概率小于((1/2))⁸⁰)即可)。

1. 将n-1表示成2^sr

2. 对i从1到t做循环做以下操作：

   1. 选择一个随机整数a（2 ≤ a ≤ n−2）

   2. 计算y ← a^r bmod n

   3. 如果y≠1并且y≠ n−1循环做下面的操作，否则转3：

      1. j ← 1

      2. 当j ≤ s−1并且y ≠ n−1循环做下面操作，否则跳到（iv.）

      3. 计算y ← y² bmod n，如果y = 1返回“合数”，否则j ← j + 1

      4. 如果y ≠ n−1则返回“合数”

3. 返回“素数”

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

/*=====================================================
 * Fermat定理：
 * 如果n是素数，那么对于所有的a<>0(mod n)有
 * a^(n-1) mod n = 1
 *=====================================================
 */

// 输出a^m(mod n)
int expmod(int a, int m, int n) {
	int c = 1;
	while (m > 0) {
		c = (c*c)%n;
		if (m%2 == 1)
			c = (c*a)%n;
		m /= 2;
	}

	return c;
};

/*=====================================================
 * 输入：正奇数>=5
 * 输出：如果n是素数，则返回prime；否则返回composite
 * 出错概率：
 * 对于4~2000的所有合数，仅对341,561,645,1105,1387,1729
 * 返回素数，此外，小于100,000的数中，仅有78个测试错误
 * 最大的是93961 = 7*31*433
 *=====================================================
 */
bool primeTest1(int n) {
	if (expmod(2, n-1, n) == 1) 
		return true;
	else
		return false;
};

/*=====================================================
 * Carmicheal数： 
 * 它对于相对于n互素的正整数a，满足Fermat定理
 * Carmicheal数相当少，对于10^8内仅有255个。
 * 当一个合数n对于底a满足Fermat定理时
 * n被称为底a的伪素数，于是primeTest1在n是素数或者
 * 是底2的伪素数时返回素数
 *=====================================================
 */

/*=====================================================
 * 改进方法：
 * 在2~n-2之间随机地选择底，这产生了算法primeTest2
 *=====================================================
 */
bool primeTest2(int n) {
	// a是2~n-2之间的随机数
	int a = rand()%(n-3) + 2;	
	if (expmod(a, n-1, n) == 1)
		return true;
	else
		return false;
};

/*=====================================================
 * 如果n不是Carmicheal数，则算法PTEST2将测出n是合数
 * 的概率至少是1/2，换句话说primeTest2出错的概率最多
 * 是1/2。于是，通过反复测试k次，出错的概率最多是2^(-k) 
 *=====================================================
 */

/*=====================================================
 * 设n为大于5的奇数，写为n-1=(2^q)*m，则由费马定理，
 * 序列a^m(mod n), a^(2m)(mod n), a^(4m)(mod n)
 * ... a^((2^q)*m)(mod n) 必定以1结束，而且在1出现之前
 * 的值必定是n-1，这是因为当n是素数时，x^2=1(mod n)
 * 的唯一解是x=1或x=-1
 *=====================================================
 */

// t为循环检测次数
bool primalityTest(int n, int t) {
	if (n == 2 || n == 3) 
		return true;
	
	if (n%2 == 0)
		return false;

	int q = 0, m = n - 1;
	while (m%2 == 0) {
		++ q;
		m /= 2;
	}

	for (int i = 0; i < t; ++ i) {
		int a = rand()%(n-2) + 2;
		int x = expmod(a, m, n);
		int j;

		if (x == 1)
			continue;

		for (j = 0; j < q && x != n-1; ++ j) {
			x = (x*x)%n;
		}

		if (j >= q)
			return false;
	}
	
	return true;
};

int main()
{
	while(1) {
		
		int n;
	
		scanf("%d",&n);
	
		if(primalityTest(n,10))
			printf("n is a prime\n");
		else 
			printf("n is not a prime\n");
	}		
}