自然数幂和 伯努利数

假设我们现在要求
G(N,k)=∑N−1i=0ik
N≤1018,k≤105
结果对998244353取模

通常的思路是直接枚举 i ，但此时的 N 非常大，所以我们只能考虑转化问题。

为了解决这题，我们先引入一个量——-伯努利数 Bi

其定义为
B0=1
∑ni=0Cin+1Bi=0，n>0

也可以用幂级母函数来表示

xex−1=∑i≥0Bi∗xii!

我们再定义一个多项式 Bn(t)

Bn(t)=∑k=0n−1Bk∗tn−k∗Ckn

我们还有

Bn(t+1)−Bn(t)=∑k=0n−1Bk∗⟮(t+1)n−k−tn−k⟯Ckn

=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Cin−k∗ti)∗Ckn

=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Cin−k∗ti∗Ckn)

=∑k=0n−1Bk∗(∑i=0n−k−1Ckn−i∗ti∗Cin)

=∑i=0n−1Cin∗ti∗∑k=0n−1−iBk∗Ckn−i

注意到后面的求和与伯努利数的定义极为相同。
也就是说
当

n−1−i>0,∑k=0n−1−iBk∗Ckn−i=0

当

n−1−i=0,∑k=0n−1−iBk∗Ckn−i=1

那么 Bn(t+1)−Bn(t)=n∗tn−1

所以

∑t=0N−1Bk(t+1)−Bk(t)=k∗∑i=0N−1ik−1

Bk(N)=k∗∑i=0N−1ik−1

代换一下 K=k−1

BK+1(N)=(K+1)∗∑i=0N−1iK

∑i=0N−1iK=1K+1∗∑i=0KBi∗NK−i+1∗CiK+1

那么可以发现的是只要我们处理出 Bi ，我们就可以用 O(K) 的时间计算出来
∑N−1i=0iK

那么现在问题变为求 Bi 了。

注意 B 的母函数表示。

xex−1=∑i≥0Bi∗xii!

∑i≥0Bi∗xii!=1∑i≥0xi(i+1)!

因为我们只需要用到 B 的前 K 前系数。
所以我们就相当于对多项式 ∑i≥0xi(i+1)! 求出其在 mod  xK+1 下的逆元即可。
这个可以用 FFT 计算出来。

那么总的时间复杂度就是 O(KlogK+K)