动态规划之投资策略规划
你所掌握的算法知识帮助你从Acme计算机公司获得了一份令人兴奋的工作，签约奖金1万美元。你决定利用这笔钱进行投资，目标是10年后获得最大回报。你决定请Amalgamated投资公司管理你的投资，该公司的投资回报规则如下。该公司提供n种不同的投资，从1~n编号。在第j年年底，比你会得到drij美元。回报率是有保证的，即未来10年每种投资的回报率均已知。你每年只能做出一次投资决定。在每年年底，你既可以将钱继续投入到上一年选择的投资种类中，也可以转移到其他投资中(转移到已有的投资种类，或者新的投资种类)。如果跨年时你不做投资转移，需要支付f1美元的费用，否则，需要支付f2美元的费用，其中f2>f1。
a。如上所述，本问题允许你每年将钱投入到多种投资中。证明：存在最优投资策略，每年都将所有钱投入到单一投资中(脊柱最优投资策略只需最大化10年的回报，无需关心任何其他目标，如最小化风险)。
b.证明：规划最优投资策略问题具有最优子结构性质。
c.设计最优投资策略规划算法，分析算法时间复杂度。
d. 假定Amalgamated投资公司在上述规则上又加入了新的限制条款，在任何时刻你都不能在任何单一投资种类中投入15000美元以上。证明：最大化10年回报问题不再具有最优子结构性质。
分析与解答：正如a题所言，如果每年都将所有钱投入到单一投资中，存在最优投资策略。一共n年m种投资，每年都有m种方式选择，持续n年，那么一共有m^n种可能的选择方式，但是这指数种选择方式中存在很多重叠子结构，实际上除去重叠的，只有n*m²种子结构。该问题在第j年寻找获得收益最大时所选择的位置将会产生新的子问题，要想求第j年最佳选择，那么需要求第j-1年最佳选择，根据第j-1年最优解来求第j年最优解。假定已经知道第j-1年之前的最佳选择方式，第j-1年每种投资都已经得到最大收益，那么我们只需在第j-1年的这m种投资中结合第j年的每种投资方式选择一种获利最大的方式。利用剪贴法证明第j年最佳投资方式必然包含第j-1年最佳投资方式。假定有比第j-1年每种投资获利更大的获利方式，那么把此方式“剪贴”上去，从而得到一个第j年获利更大方式.，那么与最初的第j年最佳投资方式矛盾。假定共n年m种投资，那么运行时间是O(n*m*m).
代码如下：(本代码只考虑不加限定额度的单一投资，每年都将所有钱投到一种投资上，因为这样投资存在最优子结构)
#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <time.h>
using namespace std;
#define n 10
#define m 8
void best_investment(double **r)
{
double v[n+1][m+1];//二维数组v[i][k]表示到了第i年购买第k种投资
double f1=0.01,f2=0.04;
int i,j;
for (i=1;i<=m;i++)
{
v[1][i]=r[i][1]+1.0;//第1年为初始状态，最大值就是本年每种投资的值
}
for ( j=2;j<=n;j++)
{
for (int k=1;k<=m;k++)//k种投资
{
v[j][k]=-0x7fffffff;//第j年第k种投资
for (int i=1;i<=m;i++)//以第j-1年中的n种投资为依据找到适合第j年第k种投资的最大值
{//当选择第j-1年第i种投资时，它乘以第j年第k种投资所获得的值与当前v[j][k]比较。
if ((v[j-1][i]-(i==k?f1:f2))*(1.0+r[k][j])>v[j][k])
{//r[k][j]=第j年第k种投资
v[j][k]=(v[j-1][i]-(i==k?f1:f2))*(1.0+r[k][j]);
}
}
}
}
cout<<"第i年购买第j种投资的前i年的投资总和为:"<<endl;
for (i=1;i<=n;i++)
{
for (j=1;j<=m;j++)
{
cout<<setprecision(5)<<showpoint<<v[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
cout<<"10年后最大投资额为:";
double T=-0x7fffffff;
int t=0;
for (j=1;j<=m;j++)
{
if (v[n][j]>T)
{
T=v[n][j];
}
}
cout<<T<<endl;
}
void main()
{
srand( (unsigned)time( NULL ) );
double **r;
int i,j;
r=new double*[m+1];
for (i=0;i<=m;i++)
{
r[i]=new double[n+1];
}
cout<<"第j年第i种投资回报率如下："<<endl;
for (i=1;i<=m;i++)
{
for (j=1;j<=n;j++)
{
r[i][j]=(((rand()%1000+1)/1000.0+1)-1)/10.0;
cout<<setprecision(3)<<r[i][j]<<"\t";
}
cout<<endl;
}
cout<<endl;
best_investment(r);
}
总结：由这个程序得到的结果是：不能简单的选择每年回报率最大的投资，由于可能进行投资转移，所以有可能回报率低一点的投资获得最大投资。由d问结果可以看出，给单一投资加了限定额度，就必须进行多种投资，这样最优子结构就不存在了。具体为什么还有待研究。