【推荐系统算法】PMF(Probabilistic Matrix Factorization)

Mnih, Andriy, and Ruslan Salakhutdinov. “Probabilistic matrix factorization.” Advances in neural information processing systems. 2007.

本篇论文发表于2007年NIPS。Ruslan Salakhutdinov来自多伦多大学,16年转入CMU。Andriy Mnih同样来自多伦多大学,师从Hinton。PMF算法(Probabilistic Matrix Factorization)是现代推荐系统的基础算法之一。

问题描述

设有 N 个用户, M 部电影。一个评分系统可以用 N×M 矩阵 R 来表示。
推荐系统问题如下: R 矩阵中只有部分元素是已知的(用户只给一部分电影打过分),且 R 往往非常稀疏,需要求出 R 缺失的部分。
除了推荐系统,这个模型也可以用来描述任意“成对”作用的系统。例如:由若干球队组成的联赛,两支球队间的历史比分即为 R 的已知元素,需要预测尚未进行的比赛结果。这里 R 是一个方阵。

基本思路

本文采取low-dimensional factor模型,也称为low rank模型来处理这个问题。其核心思想是:用户和电影之间的关系(即用户对电影的偏好)可以由较少的几个因素的线性组合决定

例子
用户是否喜欢一部电影取决于三个因素:是娱乐片还是文艺片,是外文片还是华语片,演员是否出名。
用三维向量 x=[0.6,1.0,0.2]T 来描述一个用户(假设取值在[-1,1]之间):他比较喜欢娱乐片,只看外文片,对演员要求一般,小众一点更好。
对于一部电影,用另一个三维向量来描述 y=[0.9,1.0,0.8]T :这是一部众星云集的-国产-娱乐大作。
可以算出这个用户对于这部电影的喜好程度 r=xTy=2.06 :相当不喜欢。

用矩阵语言来描述,就是评分矩阵可以分解为两个低维矩阵的乘积 R=UTV ,其中 D×N 矩阵 U 描述 N 个用户的属性, D×M 矩阵 V 描述 M 部电影的属性。
根据矩阵秩的性质, R 的秩不超过 U,V 的最小尺寸 D

实际上,由于系统噪音存在,不可能做出这样的完美分解,另外 R 包含很多未知元素。所以问题转化为:
- 对一个近似矩阵进行分解 R^=UTV
- 要求近似矩阵 R^ 在观测到的评分部分和观测矩阵 R 尽量相似
- 为了防止过拟合,需要对 U,V 做某种形式的约束

用贝叶斯观点来说, R 是观测到的值, U,V 描述了系统的内部特征,是需要估计的。

基础PMF模型

使用如下两个假设
- 观测噪声(观测评分矩阵 R 和近似评分矩阵 R^ 之差)为高斯分布
- 用户属性 U 和电影属性 V 均为高斯分布

利用第一个假设,可以写出完整观测矩阵的概率密度函数。其中 σ 是观测噪声的方差,人工设定。

p(R|U,V)=N(R^,σ2)=N(UTV,σ2)

利用第二个假设,可以写出用户、电影属性的概率密度函数。其中 σU,σV 是先验噪声的方差,人工设定。

p(U)=N(0,σ2U),p(V)=N(0,σ2V)

综合以上两个概率密度函数,利用经典的后验概率推导,可以得到

p(U,V|R)=p(U,V,R)/p(R)p(U,V,R)=p(R|U,V)p(U)p(V)

基础PMF求解

最大化上述概率,则可以通过已有的观测矩阵 R 估计出系统参数 U,V

为了计算方便,对后验概率取对数

lnp(U,V|R)=lnp(R|U,V)+lnp(U)+lnp(V)

高斯分布公式及其对数形式:

p(x)=12πσexp((xμ)22σ2)

lnp(x)=ln(2πσ)(xμ)22σ2

由于后验概率中的方差都是预设常数,故只有第二项和待优化的 U,V 有关。
最大化上述对数后验概率,等价于最小化如下能量函数:

E(U,V)=(RUTV)22σ2+UTU22σ2U+VTV22σ2V

做参数替换约掉一个变量:
E(U,V)=12(RUTV)2+λU2UTU2+λV2VTV2

如果系统先验方差 σU,σV 无穷大(即无法对系统参数做约束),则上式只剩第一项,退化为一个SVD分解问题。

刚才的几步推导中,为了书写简便实际上做了一些省略:矩阵的概率密度应该等于其元素概率密度的乘积。取对数之后,即等于其元素概率密度的和。

E(U,V)=12ijIij(RijUTiVj)2+λU2iUTiU2i+λV2jVTjV2j
其中 Rij 是标量, Ui,Vj 都是维度为D的向量。后两项相当于约束了内部特征矩阵 U,V 的范数。标记 Iij 表示用户i是否对电影j评分。

最后,为了限制评分的范围,对高斯函数的均值施加logistic函数 g(x)=1/(1+exp(x)) ,其取值在(-1,1)之间。最终的能量函数是:

E(U,V)=12ijIij(Rijg(UTiVj))2+λU2iUTiU2i+λV2jVTjV2j

至此,可以使用梯度下降方法,通过 E/Uik,E/Vjk 求解 Ui,Vj 中的每一个元素。

需要估计的参数数量为 M×D+N×D 。对于每一个参数,由于能量函数第一项只在有观测时需要计算,所以所需时间相对于观测数量为线性(?)。

性能
1998年至2005年Netflix数据,设定D=30,使用Matlab,在30分钟内完成训练。

控制模型复杂度

最简单的控制复杂度的方法是调整特征维度: D 约大,模型越精确,但也越容易过拟合。 D 应该和用户的打分数量相关:如果用户看过的电影多,则可以用较多特征来描述,可以使用较大的D。
但实际数据往往是不均衡的:电影爱好者给出的打分很多,而很多用户只会给一两部电影打分。

较好的方法是选择一个中等尺度的 D ,之后调整 λU=σ/σU,λV=σ/σV
σ 大说明观测噪声大,则第一个误差项不靠谱, λU 较大,应较多依赖后两个正则项:要求系统参数 U,V 的绝对值较小;反之, σU 大,说明系统参数本身方差大, λU 较小,允许 U,V 的绝对值较大

带有自适应先验的PMF

先验的超参数(hyperparameter): ΘU,ΘV 可以从训练样本中估计。这两个 Θ 和前述 λ 类似。

lnp(U,V,ΘU,ΘV|R)=lnp(R|U,V)+lnp(U|ΘU)+lnp(V|ΘV)+lnp(ΘU)+lnp(ΘV)

类似地,可以给 ΘU,ΘV 设定先验,轮流对参数和超参数使用梯度下降或者EM算法更新。

限制性PMF

“用户是否给某部电影打过分”这个信息本身就能一定程度上说明用户的属性。Constrained PMF尝试把 Iij 引入到模型中去。这也是本文的创新之处

M×D 矩阵 W 表述电影对用户的影响。其中第k行 Wk 表示,如果用户看过第k部电影,则用户应该具有属性 Wk

用户属性U由两部分组成:和之前相同的高斯部分 Y ,以及 W 用“看过”矩阵 I 加权的结果。

Ui=Yi+1kIikkIikWk

其中 W 服从方差为 σW 的0均值高斯分布。
在已知 R 的情况下,同样用梯度下降方法可以求解 U,V,W

下图用概率图模型表示基础PMF(左)和限定性PMF(右):
【推荐系统算法】PMF(Probabilistic Matrix Factorization)_第1张图片

实验

涉及的数据集如下

数据集 打分 用户 电影
Netflix Train 100,480K 480K 17K
Netflix Valid 1,408K - -
Netflix Test 2,817K - -

为了提高训练速度,采用了mini-batche方法:每100K个观测(用户给某部电影打分),更新一次待求参数。learning rate = 0.005, momentum = 0.9。

梯度下降的learning rate和momentum参见这个链接
简而言之,学习率决定每一步大小,动量避免曲折过于严重。

可以看出限定性PMF比基础PMF的优越性

扩展

第6章总结中提到: Efficiency in training PMF models comes from finding only point estimates of model parameters and hyperparameters, instead of inferring the full posterior distribution over them.
这里的point estimation指的是只估计了 U,V,λU,λV 一个值,而没有估计它们的概率分布,所以大大提高了速度。但是其缺点是容易过拟合。
与之相对的,还可以使用贝叶斯估计,把系统参数当成一个随机变量。具体可以参看这篇博客:贝叶斯PMF,介绍同作者的这篇论文:

Salakhutdinov, Ruslan, and A. Mnih. “Bayesian probabilistic matrix factorization using markov chain monte carlo.” International Conference on Machine Learning 2008:880-887.

另外,如果需要考虑一些明确的从属信息,例如评分的用户身份、评分发生的时间等,可以参看这篇博客:DPMF,介绍这篇论文:

Adams, Ryan Prescott, George E. Dahl, and Iain Murray. “Incorporating side information in probabilistic matrix factorization with gaussian processes.” arXiv preprint arXiv:1003.4944 (2010).

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