【算法】Dancing Links (DLX) II

From: http://blog.csdn.net/keyboardlabourer/article/details/13168391

1. 数独问题

在前一篇中简要地介绍了DLX算法，这一篇将主要讲DLX的应用——解决数独问题。DLX本身是用来解决exact cover问题，如果有一些问题能转化成exact cover问题，也就意味着也能用DLX求解。

数独（Sudoku）问题是在一个9 * 9的格子上，分为9个宫。有一些格子是已经填好了的，你的目标是把剩下的每一个格子填上1-9中的某一个数，使得每一行、每一列、每一个宫都包含1-9每个数各一次。比如：

.	2	7	3	8	.	.	1	.
.	1	.	.	.	6	7	3	5
.	.	.	.	.	.	.	2	9
3	.	5	6	9	2	.	8	.
.	.	.	.	.	.	.	.	.
.	6	.	1	7	4	5	.	3
6	4	.	.	.	.	.	.	.
9	5	1	8	.	.	.	7	.
.	8	.	.	6	5	3	4	.

就是一个数独。

有些数独比较简单，则可以用纯粹的DFS（这篇有介绍）进行暴力求解。可是有些数独用DFS求解容易TLE，这时DLX就派上用场了。但是，困难在于如何构造一个矩阵A，使得数独问题转化成exact cover问题。我们可以如此构造矩阵A：

• 行：记录数独每一个格子所填的数。比如，1~9行依次记录数独第一个格子所填的数1~9，10~18行依次记录数独第二个格子所填的数1~9……
• 列：1~81列记录数独的81个格子是否已填，82~162列分别记录数独的1~9行有数字1~9，163~243列分别记录数独的1~9列有数字1~9，244~324列分别记录数独的1~9宫有数字1~9。

数独的格子是从左至右从上至下地编号的。为了便于后面的计算，一律将所有的编号从0开始，包括所填的数字。比如，数独的第二个格子的编号应为1，为数独的第0行第1列；如果要填数字2，则应是填1（也就是说0~8代表所填数字1~9）。如果将1格子填1，则相对应地要将A[10][1]、A[10][82]、A[10][172]、A[10][244]置为1。

由上述例子可以推导得出，数独的第r行第c列填k时，相应地将矩阵A中四个元素置为1：

A[9*(9*r+c)+k][9*r+c]=1

A[9*(9*r+c)+k][81+9*r+k]=1

A[9*(9*r+c)+k][162+9*c+k]=1

A[9*(9*r+c)+k][243+9*(3*(r/3)+c/3)+k]=1

从0格子开始，如果该格子在初始情况下已经填好，相应地将矩阵A中元素置为1；如果该格子为空，则依次填0~8，并相应地将矩阵A中元素置为1。如此数独问题转化成了exact cover问题：求矩阵A的行集合（共有81行）使得每列有且仅有一个1。在 矩阵A构造出来之后，只需将A改由双向十字链表存储，即可用DLX求解了。

2. 问题

2.1 POJ 3074

在将A改由双向十字链表存储时，用到了前一篇的init函数，并用到了G[ ]保存节点所在的行。注意到dfs函数中O[ ]记录的是搜索结果行中的一个元素，由于搜索结果共有81行，那么O[ ]应该开到81。在建双向十字链表时，是从1开始编号的。因此，G[O[ ]]-1才表示搜索结果在矩阵A中的所在行。矩阵A的每一行表示了对应的格子所填的数，G[O[ ]]表示了(G[O[ ]]-1)/9格子填(G[O[ ]]-1)%9。

源代码：

3074

Accepted

1140K

79MS

C

2673B

2013-10-27 11:08:2

#include "stdio.h"
#include "string.h"

#define MAXR 729
#define MAXC 324
#define MAXN 3241   //4*MAXR+MAXC+1

int L[MAXN],R[MAXN],U[MAXN],D[MAXN],C[MAXN],G[MAXN],S[MAXC+1],O[81],H[MAXR+1];
int A[MAXR][MAXC],ans[81];
char sudoku[81];

void fill(int r,int c,int k)              //(r,c) of sudoku is filled with number k
{
    int grid=9*r+c, row=9*(9*r+c)+k;
    A[row][grid]=1;
    A[row][81+9*r+k]=1;
    A[row][162+9*c+k]=1;
    A[row][243+9*(3*(r/3)+c/3)+k]=1;
}

void construct()                          //construct matrix A
{
    int i,j,r,c;
    memset(A,0,sizeof(A));
    for(i=0;i<81;i++)
    {
        r=i/9;  c=i%9;
        if(sudoku[i]=='.')
        {
            for(j=0;j<9;j++)
                fill(r,c,j);
        }
        else fill(r,c,sudoku[i]-'1');
    }
}

void build_cross_list()                   //build the cross list of matrix A
{
    int i,j,count;
    for(i=1;i<=MAXC;i++)
    {
        L[i]=i-1;   R[i]=i+1;
        U[i]=i;     D[i]=i;
        C[i]=i;
    }
    L[0]=MAXC;   R[0]=1;
    R[MAXC]=0;

    memset(H,-1,sizeof(H));
    memset(S,0,sizeof(S));
    count=MAXC+1;

    for(i=1;i<=MAXR;i++)
        for(j=1;j<=MAXC;j++)
        {
            if(!A[i-1][j-1])  continue;

            if(H[i]==-1)
                H[i]=L[count]=R[count]=count;
            else
            {
                L[count]=L[H[i]];    R[count]=H[i];
                R[L[H[i]]]=count;    L[H[i]]=count;
            }

            U[count]=U[j];   D[count]=j;
            D[U[j]]=count;   U[j]=count;
            C[count]=j;      G[count]=i;      //record the row of the node
            S[j]++;
            count++;
        }
}

void re_move(int c)
{
    int i,j;
    L[R[c]]=L[c];
    R[L[c]]=R[c];
    for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
        for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
        {
            U[D[j]]=U[j];
            D[U[j]]=D[j];
            S[C[j]]--;
        }
}

void resume(int c)
{
    int i,j;
    for(i=U[c];i!=c;i=U[i])
        for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
        {
            S[C[j]]++;
            U[D[j]]=j;
            D[U[j]]=j;
        }
        L[R[c]]=c;
        R[L[c]]=c;
}

int dfs(int depth)
{
    int i,j,c,min=10000;
    if(R[0]==0)                                    //print the answer
    {
        for(i=0;i<depth;i++)
            ans[(G[O[i]]-1)/9]=(G[O[i]]-1)%9+1;
        for(i=0;i<81;i++)
            printf("%d",ans[i]);
        printf("\n");
        return 1;
    }

    for(i=R[0];i!=0;i=R[i])
        if(S[i]<min)
        {
            min=S[i];
            c=i;
        }
    re_move(c);

    for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
    {
        O[depth]=i;
        for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
            re_move(C[j]);

        if(dfs(depth+1))   return 1;

        for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
            resume(C[j]);
    }

    resume(c);
    return 0;
}

int main()
{
    while(scanf("%s",sudoku)&&sudoku[0]!='e')
    {
        construct();
        build_cross_list();
        dfs(0);
    }
    return 0;
}

2.2 POJ 3076

16*16的数独，将3074中的一些数更改一下就可以了。

PE了一次，每个测试样例后需要空一行。

源代码：

3076

Accepted

16892K

422MS

C

3046B

2013-10-27 16:28:41

#include "stdio.h"
#include "string.h"

#define MAXR 4096
#define MAXC 1024
#define MAXN 17409   //4*MAXR+MAXC+1

int L[MAXN],R[MAXN],U[MAXN],D[MAXN],C[MAXN],G[MAXN],S[MAXC+1],O[256],H[MAXR+1];
int A[MAXR][MAXC];
char sudoku[16][16],ans[256];

void fill(int r,int c,int k)              //(r,c) of sudoku is filled with number k
{
    int grid=16*r+c, row=16*(16*r+c)+k;
    A[row][grid]=1;
    A[row][256+16*r+k]=1;
    A[row][512+16*c+k]=1;
    A[row][768+16*(4*(r/4)+c/4)+k]=1;
}

void construct()                          //construct matrix A
{
    int i,j,k;
    memset(A,0,sizeof(A));
    for(i=1;i<16;i++)
        scanf("%s",sudoku[i]);
    for(i=0;i<16;i++)
        for(j=0;j<16;j++)
        {
            if(sudoku[i][j]=='-')
            {
                for(k=0;k<16;k++)
                    fill(i,j,k);
            }
            else fill(i,j,sudoku[i][j]-'A');
        }
}


void build_cross_list()                   //build the cross list of matrix A
{
    int i,j,count;
    for(i=1;i<=MAXC;i++)
    {
        L[i]=i-1;   R[i]=i+1;
        U[i]=i;     D[i]=i;
        C[i]=i;
    }
    L[0]=MAXC;   R[0]=1;
    R[MAXC]=0;

    memset(H,-1,sizeof(H));
    memset(S,0,sizeof(S));
    count=MAXC+1;

    for(i=1;i<=MAXR;i++)
        for(j=1;j<=MAXC;j++)
        {
            if(!A[i-1][j-1])  continue;

            if(H[i]==-1)
                H[i]=L[count]=R[count]=count;
            else
            {
                L[count]=L[H[i]];    R[count]=H[i];
                R[L[H[i]]]=count;    L[H[i]]=count;
            }

            U[count]=U[j];   D[count]=j;
            D[U[j]]=count;   U[j]=count;
            C[count]=j;      G[count]=i;      //record the row of the node
            S[j]++;
            count++;
        }
}

void re_move(int c)
{
    int i,j;
    L[R[c]]=L[c];
    R[L[c]]=R[c];
    for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
        for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
        {
            U[D[j]]=U[j];
            D[U[j]]=D[j];
            S[C[j]]--;
        }
}

void resume(int c)
{
    int i,j;
    for(i=U[c];i!=c;i=U[i])
        for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
        {
            S[C[j]]++;
            U[D[j]]=j;
            D[U[j]]=j;
        }
        L[R[c]]=c;
        R[L[c]]=c;
}

int dfs(int depth)
{
    int i,j,c,min=10000;
    if(R[0]==0)                                    //print the answer
    {
        for(i=0;i<depth;i++)
            ans[(G[O[i]]-1)/16]=(G[O[i]]-1)%16+'A';
        for(i=0;i<16;i++)
        {
            for(j=0;j<16;j++)
                printf("%c",ans[16*i+j]);
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
        return 1;
    }

    for(i=R[0];i!=0;i=R[i])
        if(S[i]<min)
        {
            min=S[i];
            c=i;
        }
    re_move(c);

    for(i=D[c];i!=c;i=D[i])
    {
        O[depth]=i;
        for(j=R[i];j!=i;j=R[j])
            re_move(C[j]);

        if(dfs(depth+1))   return 1;

        for(j=L[i];j!=i;j=L[j])
            resume(C[j]);
    }

    resume(c);
    return 0;
}

int main()
{
    while(scanf("%s",sudoku[0])!=EOF)
    {
        construct();
        build_cross_list();
        dfs(0);
    }
    return 0;
}