RSA加密

RSA由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年提出，当时他们三人都在MIT。RSA取自他们三人姓氏开头字母拼在一起组成的。

RSA是Diffie-Hellman公钥加密的实现，其安全性部分依赖于大整数分解的困难。之所以说“部分依赖于”，是因为至今还没证明RSA的安全性完全依赖于大整数分解。

1.公钥和密钥的生成

（1）随意两个大素数p和q，计算 n=p*q ；

（2）根据gcd(d, (p-1)*(q-1))=1 计算 d；

（3）由 求得e 。

加密密钥(e,n)，解密密钥(d,n)，由n分解为p、q是困难的。

2.加密与解密

加密： ，其中M是消息，E( )是加密函数，C是加密后的密文。

解密： ，其中D( )是解密函数。

3.证明

证明需要用到欧拉定理，先引出几个概念。

（1）欧拉函数φ(n)，是指小于n且与n互素的整数的个数。特别地，有φ(1)=1，对素数p有φ(p)=p-1 。

（2）欧拉定理：对任意互素的a和n，有 。关于欧拉定理详细证明，请参看其他书籍。

RSA解密的证明：

4. 参考文献

[1] R. Rivest, A . Shamir, and L. Adleman. "A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems". Communications of the ACM , vol. 21, no. 2, pp. 120–126, 1978.