字符串编辑距离

字符串编辑距离


题目描述


    给定一个源串和目标串,能够对源串进行如下操作:

    ·在任意位置上插入一个字符;

    ·替换任意字符;

    ·删除任意字符。

    写一个程序,实现返回最小操作次数,使得对源串进行上述这些操作后等于目标串(源串和目标串的长度都小于2000),这就是字符串编辑距离问题。


分析与解法

    本题常见的求解思路是用动态规划。假如令 dp[i][j]表示源串 S[0..i]和目标串 T[0..j]的最短编辑距离,其边界 dp[0][j]=jdp[i][0]=i那么可以得出状态转移方程:

dp[i][j] =min{dp[i−1][j] + 1 , S[i]不在T[0..j]

            dp[i−1][j−1] + 1/0 , S[i]T[j]

            dp[i][j−1] + 1 , S[i]T[0..j−1]

}

    接下来,重点解释一下上述三个式子的含义。


    关于dp[i−1][j] + 1S[i]不在T[0..j]的说明

S[i]没有落在T[0..j]中,即S[i]在中间的某一次编辑操作中被删除了。因为删除操作没有前后相关性,不妨将其在第1次操作中删除。除首次操作时删除外,后续编辑操作都是将长度为i−1的字符串编辑成长度为j的字符串,即dp[i−1][j],故dp[i][j]=dp[i−1][j] + 1


    关于dp[i−1][j−1] + 0/1S[i]T[j]中”的说明

    若S[i]经过编辑最终落在T[j]的位置,则要么S[i] == T[j]S[i]直接落在T[j](这种情况,编辑操作实际上是将长度为i−1S′串,编辑成长度为j−1T串,即dp[i−1][j−1]要么S[i] ≠ T[j]S[i]落在T[j]后,要将S[i]修改成T[j](即在上一种情况的基础上增加一次修改操作,即dp[i−1][j−1] + 1)。


    关dp[i][j−1] + 1S[i]T[0…j−1]的说明

    若S[i]落在了T[1..j−1]某个位置,不妨认为是k根据最小编辑步数的定义k+1j−1位置的字符必然是通过插入新字符完成的。因为共插入了jk个字符,所以编辑次数为jk次。而字符串S[1..i]经过编辑得到了T[1..k],编辑次数为dp[i][k]dp[i][j]=dp[i][k] + (jk)

    因为最后的jk次是插入操作,所以可以将jk逐次归约到dp[i][k]中,即dp[i][k]+(jk)=dp[i][k+1]+( jk−1)归约到插入操作为1次,得到dp[i][k]+(jk)=dp[i][k+1]+ jk−1)=dp[i][k+2]+(jk−2)=…=dp[i][k+(jk−1)]+(jk) − (jk−1)=dp[i][j−1]+1


    上述的解释清晰规范,但是为什么这样做呢?

    换一个角度来看这其实就是字符串对齐的思路。例如,把字符串"ALGORITHM"变成"ALTRUISTIC",可以先把相关字符各自对齐,如图5-1所示。


 

    然后把图5-1中上面的源串S[0..i]="ALGORITHM"编辑成下面的目标串T[0..j]= "ALTRUISTIC"需要枚举字符串ST最后一个字符S[i]T[j]对应四种情况,即“字符-空白”“空白 字符”“字符 字符”“空白 空白”。


    由于其中的“空白 空白”是多余的编辑操作,所以事实上只存在以下三种情况。

(1)源串S有字符X目标串T空白,即S字符XT空白”。要让S变成T则意味着源串S要删除字符X可得方程dp[i−1][j]+1

2源串S空白,目标串T有字符YS空白T字符Y要让S变成T则意味着源串S要插入字符Y可得方程dp[i][ j−1]+1

3源串S中的字符X与目标串T中的字符Y对应S字符XT字符Y要让S变成T则意味着要把源串S中的字符X换成目标串T中的字符Y可得方程dp[i−1][j−1]+(s[i] ==t[j]?0:1)

    综上所述,如果用dp[i][j]表示源串S[0..i]和目标串T[0..j]的最短编辑距离,则可以写出简单的深度优先状态方程:

dp[i][j]=min{dp[i−1][j]+1, dp[i][j−1]+1, dp[i−1][j−1]+(S[i]==T[j] ? 0 : 1) }


参考代码如下:


// dp[i][j]表示源串S[0..i)和目标串target[0..j)的编辑距离
int EditDistance(char *S, char *T)
{
    int srcLength = strlen(S);
    int targetLength = strlen(T);
    int i, j;
    // 边界dp[i][0] = i,dp[0][j] = j
    for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
    {
        dp[0][j] = j;
    }
    for (i = 1; i <= srcLength; ++i)
    {
        for (j = 1; j <= targetLength; ++j)
        {
            if (S[i - 1] == T[j - 1])
            {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            }
            else
            {
                dp[i][j] = 1 + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[srcLength][targetLength];
}



举一反三

    另类编辑距离

    传统的编辑距离里面有三种操作,即插入、删除、替换。假定现在编辑距离只允许两种操作,即插入一个字符和删除一个字符。请求出两个字符串的这种编辑距离,即把一个字符串变成另外一个字符串的最少操作次数。假定每个字符串长度不超过1000,只由大写

英文字母组成。

    

    寻找编辑距离3以内的数

    有1亿个数,输入1个数,找出与它的编辑距离在3以内的数。

问题扩展

实际上,“编辑距离”问题在搜索引擎中有着重要的用途。例如,搜索引擎关键字查询中拼写错误的提示,如图5-2所示,当输入Jult后,因为没有Jult这个单词,所以搜索引擎猜测你可能是输入错误,继而会提示你是不是找July。

字符串编辑距离_第1张图片

你可能感兴趣的:(字符串编辑距离)