华为OJ1964-求解立方根（牛顿迭代法）

一、题目描述

描述：

• 计算一个数字的立方根，不使用库函数。
• 函数原型double getCubeRoot(double input)

输入：

待求解参数 double类型

输出：

输出参数的立方根，保留一位小数

样例输入：

216

样例输出：

6.0

二、解题报告

本题要求一个数的立方根的近似值，精确到小数点后的一位。这里使用 牛顿迭代法 求近似值。

牛顿迭代法，又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数 f(x) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f(x)=0 的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 f(x)=0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

设 r 是的根，选取 x0 作为 r 的初始近似值：

• 过点 (x0,f(x0)) 做曲线 y=f(x) 的切线L，L的方程为 y=f(x0)+f′(x0)(x−x0) ，求出L与x轴交点的横坐标 x1=x0−f(x0)f′(x0) ，称 x1 为 r 的一次近似值。

• 过点 (x1,f(x1)) 做曲线 y=f(x) 的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2=x1−f(x1)f′(x1) ，称 x2 为 r 的二次近似值。

• 重复以上过程，得 r 的近似值序列。其中， xn+1=xn−f(xn)f′(xn) 称为 r 的 n+1 次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

首先确定我们的函数 f(x) ：

f(x)=x3−m

其中 m 是一个常数，程序的输入。求导函数：

f′(x)=3x2

代码如下：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define E 0.01

double f(double x, double num) // 函数
{
    return x*x*x-num;
}

double _f(double x)  // 导函数
{
    return 3*x*x;
}

double getCubeRoot(double input)
{
    double x0;  
    double r = 1;
    do
    {
        x0 = r;
        r = x0 - f(x0,input)/_f(x0);
    } while(f(r,input) > E || f(r,input) < -E);

    return r;
}

int main()
{
    double x;
    cin >> x;
    double result = getCubeRoot(x); 
    cout << fixed << showpoint << setprecision(1) << result << endl;
    return 0;
}

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