台大机器学习笔记(7)——The VC Dimension

本章延续第6章的内容：
http://blog.csdn.net/u010366427/article/details/50985677

7.1 Definition of VC Dimension

　　本节给之前的break point一个正式的名字。设假设集H的break point为 k ，则VC Dimension为 k−1 ，即 dvc=k−1 。它代表的意义在于， mH(N)≤Ndvc ，即在 mH(N) 难以得到的情况下，我们用 Ndvc 来设置其上界，这意味着如果有 N 个以上的样本， H 一定不能做出shatter，然而，当样本数不大于 N 时， H 也有可能不能shatter。
　　当 dvc 有限时，可以认为 Eout≈Ein ，即存在泛化能力，并且与以下因素无关：
　　(1)与从 H 获取模型的演算法无关
　　(2)与输入数据的分布无关
　　(3)与目标函数 f 无关

7.2 VC Dimension of Perceptrons

7.2.1 感知机的学习过程
　　首先在线性可分的数据集中，经过一个演算法使得 Ein=0 ，然后在假定所有数据同分布、VC维有限的情况下， P[|Ein(g)−Eout(g)|>ϵ] 会小于一个上限，意味着在足够多的数据下 Eout≈Ein ，由 Eout≈0 。
7.2.2 感知机的VC维
　　证明n维感知机的VC维是 n+1 ：
　　(1) n 维感知机能shatter某一 d+1 维数据
　　 n 维感知机的权重向量 w 是 n+1 维的。同时设某 d+1 维数据的矩阵表示是可逆的，则存在 Xw=y ，即 w=X−1y ，可知存在 w 使得 X 能按任意 y 划分。
　　(2) n 维感知机不能shatter某一 d+2 维数据
　　由于 xn+2=x1+⋯+xn+1 因此 wTxn+2=wTx1+⋯+wTxn+1 ，可知当 y1,…,yn+1 给定时， yn+2 被锁定，故无法shatter。

7.3 Physical Intuition of VC Dimension

　　VC维在物理上大致但不总是代表着 H 的自由度，即能自由决定的变量个数。自由度越高，意味着H能shatter更多的样本，故代表着H的强度，同时在高自由度下却很难使得 Eout≈Ein 。

7.4 Interpreting VC Dimension

　　用 dvc 将原有的6.4节的公式替换，我们可以得出 Eout 的上界，公式如下：

Eout(g)≤Ein(g)+8Nln(4(2N)dvcδ)−−−−−−−−−−−−−√

　　我们令该公式带根号的后半部分为 Ω ，可以看到，当 dvc 上升时， Ein(g) 下降，但是 Ω 上升，反之亦然。也就是说，当VC维上升时，训练集误差下降，测试集误差先下降后上升。
　　另外，在代入VC维后我们得到公式：

P[|Ein−E′in|>ϵ]≤4(2N)dvce−ϵ2N/8

　　根据此公式在已知其他变量的情况下可以求出未知的变量。据此，我们可以得出理论上在训练算法时应使用10000倍于VC维的数据量，但实际上由于该公式经过了多次严格约束，故而只需要10倍于VC维的数据量即可。