扩展欧几里德算法 线性同余方程 中国剩余定理

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哎呀,经过这两三天的奋斗,终于搞懂了一类问题——用扩展欧几里德算法求解线性同余方程。其实这类问题应该是比较基础也比较简单的,但我由于几乎没有一点数论的基础,所以还是难为了我不久,等现在彻底搞明白以后再看真的觉得是挺简单的,有关这类问题的题目也不是很多,我就做了3个。下面把这类问题的资料整理一下,方便以后再看。

      欧几里德算法


  欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个整数a,b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
  定理:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
  证明:a可以表示成a = kb + r,则r = a mod b
  假设d是a,b的一个公约数,则有
  d|a, d|b,而r = a - kb,因此d|r
  因此d是(b,a mod b)的公约数
  假设d是(b,a mod b)的公约数,则
  d | b , d |r,但是a = kb +r
  因此d也是(a,b)的公约数
  因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证
  欧几里德算法就是根据这个原理来做的,其算法用C++语言描述为:
  

        int GCD(int a,int b)

        {

               while (b!=0) { int k=b; b=a%b; a=k; }

              return a;

        }

       扩展欧几里德算法


  扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组p,q使得p * a+q * b = Gcd(a, b) (解一定存在,根据数论中的相关定理)。

     算法描述为:

        int extended_gcd(int a,int b,int &x,int &y)

        {

             int ans,t;

             if (b==0) { x=1; y=0; return a; }

             else { ans=extended_gcd(b,a%b,x,y); t=x; x=y; y=t-(a/b)*y;}

             return ans;

        }

  把这个实现和Gcd的递归实现相比,发现多了下面的x,y赋值过程,这就是扩展欧几里德算法的精髓。


  可以这样思考:
  对于a' = b, b' = a % b而言,我们求得x, y使得a'x + b'y = Gcd(a', b')
  由于b' = a % b = a - a / b * b (注:这里的/是程序设计语言中的除法)
  那么可以得到:
  a'x + b'y = Gcd(a', b') ===>
  bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b) ===>
  ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
  因此对于a和b而言,他们的相对应的p,q分别是y和(x-a/b*y)。

    线性同余方程

        

     对于方程 a*x+b*y=n;有整数解得充分必要条件是(n %(a,b)==0),这个定理这里就不证明了,数论书上都有。

     所以方程 a*x+b*y=n;我们可以先用扩展欧几里德算法求出一组x0,y0。也就是a*x0+b*y0=(a,b);然后两边同时除以(a,b),再乘以n。这样就得到了方程a*x0*n/(a,b)+b*y0*n/(a,b)=n;我们也就找到了方程的一个解。

     还有一个定理:若(a,b)=1,且x0,y0为a*x+b*y=n的一组解,则该方程的任一解可表示为:x=x0+b*t,y=y0-a*t;且对任一整数t,皆成立。(这个证明比较简单,就不写了)

     这样我们就可以求出方程的所有解了,但实际问题中,我们往往被要求去求最小整数解,所以我们就可以将一个特解x,t=b/(a,b),x=(x%t+t)%t;就可以了。

    方程组的情形(中国剩余定理)

     对于同余方程组:

      x=a1 (mod m1);   1

      x=a2 (mod m2);    2

      方程组有一个小于m(m1,m2的最小公倍数)的非负整数解的充分必要条件是(a1-a2)%(m1,m2)==0 ,同样利用扩展欧几里德算法。

      两式联立:a1+m1*y=a2+m2*z。

      则:a1-a2=m2*z-m1*y; 这样就可以了解出z和y,则:x=a2+m2*z;  

      现在我们将其推广到一般情形:(设m1,m2,···,mk两两互素)

      x=a1(mod m1);

     x=a2(mod m2);

      ···

      x=ak(mod mk);其在M=m1*m2*···*mk;中有唯一整数解。

      记Mi=M/mi;因为(Mi,mi)=1,故有两整数pi,qi满足Mi*pi+mi*qi=1,如果记ei=Mi*pi;那么:ei=0 (mod mj),j!=i; ei=1(mod mj),j=i;

      很明显,e1*a1+e2*a2+···+ek*ak就是方程的一个解,加减M倍后就可以得到最小非负整数解了。

      如果m1,m2,···,mk不互素,那只能两个两个求了。

      x=a1 (mod m1);  

      x=a2 (mod m2);   

      解完后,a=x; m=m1和m2的最小公倍数。即可。

      暂时就写到这里,多元的高次的我还没看,这里推荐几道题目:pku2115;pku2891;pku1061;pku1006;pku2142;强烈推荐sgu106;题目的结题报告我也会贴在博客里。


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