Discrete Mathematics and Its applications - 离散数学及其应用 读书笔记 （ 一 ）

《 Discrete 》一书中， 讲到 Bayes 理论的第二个应用，就是求解得病概率的问题。

摘抄原文如下：

*Suppose that one person in 100,000 has a particular rare disease for which there is a fairly accurate diagnostic test. This test is correct 99.0% of the time when given to a person selected at random who has the disease; it is correct 99.5% of the time when given to a person selected at random who doesn’t have the disease. Give this information can we find
(a) the probability that a person who tests positive for the disease has the disease ?
(b) the probability that a person who tests negative for the disease does not have the disease ?*

其中的大意也就是说， 有一种 1/100,000 得病率的病， 现在有着一种测试这个病的手段， 对于有病的人来说，这种手段是有 99.0% 的把握，可以测出来的, 因为 99.0% 可以测出来是阳性的；而对于没有这种病的案例来说， 有 99.5% 的把握，可以测出来是没有该病症的临床症状，即 99.5% 的人测出来都是阴性。 （阳性：表示有类似的病毒或者病菌，代表着疾病判断成立）

要求我们求解
（a) 如果测出来是阳性的，有多少概率表示得了这种病？
（b) 如果测出来是阴性的，有多少概率表示没有得这种病？

假设：
1）假设 E 代表阳性， E¯ 就代表 阴性；
2） 假设 F 代表得病， F¯ 就代表没得病；

也就是求解：

（a) P(F|E) 和 (b) P(F¯|E¯)

P(F|E)=P(F∩E)P(E)=P(E∩F)P(E)=P(E|F)∗P(F)P(E|F)∗P(F)+P(E|F¯)∗P(F¯)=0.99∗0.00001(0.99∗0.00001)+(0.05∗0.99999)≈0.002

p(F¯|E¯)=p(F¯∩E¯)p(E¯)=p(E¯|F¯)∗p(F¯)p(E¯|F)∗p(F)+p(E¯|F¯)∗p(F¯)=0.995∗0.999990.01∗0.00001+0.995∗0.99999≈0.9999999

结果是很显然的。

（这一篇读书笔记被无缘无故给删掉了。所以补上，幸好是发现了，还有又温顾了下）。