KMP算法笔记

子串的定位操作通常称做串的模式匹配,是各种串处理系统中最重要的操作之一.在很多应用中都会涉及子串的定位问题,如普通的字符串查找问题.如果我们把模式匹配的串看成一字节流的话,那应用空间一下子就广阔了很多,如HTTP协议里就是字节流,有各种关键的字节流字段,对HTTP数据进行解释就需要用到模式匹配算法.

模式匹配算法里两个最为重要的算法：KMP与BM算法

图2-1 KMP算法的一个例子

                        

    如果是普通的匹配算法，那么接下来，模式串的下一个匹配将如上一节读者所看到的那样，回溯到第二个位置b处。而KMP算法会怎么做呢?KMP算法会直接把模式串移到匹配失效的位置上，如下图2-2，g处：

                       图2-2 直接移到匹配失效的位置g处

 Ok，咱们下面再看一个例子，如下图2-3/4：

                       图2- 3/4 另一个例子

如果前面有匹配成功，那移动一位或者几位后，是不可能匹配成功的

KMP算法快在于，i只加从不减，只有短串在长串中快速滑动。

代码：

 int kmp_search(char const* src, int slen, char const* patn, int plen, int const* nextval, int pos)
 {
     int i = pos;
     int j = 0;
     while ( i < slen && j < plen )
     {
         if( j == -1 || src[i] == patn[j] )
         {
             ++i;
             ++j;   //匹配成功，就++，继续比较。
         }
         else
         {
             j = nextval[j];
             //当在j处，P[j]与S[i]匹配失败的时候直接用patn[nextval[j]]继续与S[i]比较，
             //所以，Kmp算法的关键之处就在于怎么求这个值拉，
             //即匹配失效后下一次匹配的位置。下面，具体阐述。
         }
     }
     if( j >= plen )
         return i-plen;
     else
         return -1;
 }

我们用变量k来代表求得的j_next的最大值，即k表示这S[i]、P[j]不匹配时P中下一个用来匹配的位置，使得P[0…k-1] = P[j-k…j-1]，而我们要尽量找到这个k的最大值。如你所见，当匹配到S[i] != P[j]的时候，最大的k为1（当S[i]与P[j]不匹配时，用P[k]与S[i]匹配，即P[1]和S[i]匹配，因为P[0]=P[2]，所以最大的k=1）。

                图3-2 j_next=1，即最大的k的值为1

  如上图3-2，当P[3]!=S[i],而P[0]=P[2]（当P[3]!=S[i],而P[0]=P[2]，P[2]=S[i-1]，所以肯定有P[0]=S[i-1])），所以只需比较P[1]与S[i]就可以了，即k是P可以跳过比较的最大长度，换句话说，就是k能标示出S[i]与P[j]不匹配时P的下一个匹配的位置。

图3-3 第二步匹配中，跳过P[0]（a），只需要比较 P[1]与S[4]（b）了

也就是说，如上图3-3，在第一次匹配中，就是因为S[3]=P[0]，所以在下一次匹配中，只需要比较S[4]=P[1]，跳过了几步?一步。那么k等于多少?k=1。即把 P 右移两个位置后，P[0]与S[3]不必再比较，因为前一步已经得出他们相等。所以，此时，只需要比较 P[1]与S[4]了。

接下来的问题是，怎么求最大的数k使得p[0…k-1] = p[j-k…j-1]呢。这就是KMP算法中最核心的问题，即怎么求next数组的各元素的值?只有真正弄懂了这个next数组的求法，你才能彻底明白KMP算法到底是怎么一回事。
那么，怎么求这个next数组呢?咱们一步一步来考虑。
求最大的数k使得P[0…k-1] = P[j-k…j-1]，一个直接的办法是对于j,从P[j-1]往回查，看是否有满足P[0…k-1] = P[j-k…j-1]的k存在，而且还要最大的一个k。下面咱们换一个角度思考。
当P[j+1]与S[i+1]不匹配时，分两种情况求next数组（注：以下皆有k=next[j]）：

1. P[j] = p[k], 那么next[j+1]=k+1，这个很容易理解。采用递推的方式求出next[j+1]=k+1（代码3-1的if部分）。
2. P[j] != p[k]，那么next[j+1]=next[k]+1（代码3-1的else部分）

稍后，你将看到，由这个方法得出的next值还不是最优的，也就是说是不能允许P[j]=P[next[j]]出现的。ok，请跟着我们一步一步登上山顶，不要试图一步登天，那是不可能的。由以上，可得如下代码：

 //代码3-1，稍后，你将由下文看到，此求next数组元素值的方法有错误
 void get_next(char const* ptrn, int plen, int* nextval)
 {
     int i = 0;
     nextval[i] = -1;
     int j = -1;
     while( i < plen-1 )
     {
         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )    //循环的if部分
         {
             ++i;
             ++j;
             nextval[i] = j;
         }
         else                         //循环的else部分
             j = nextval[j];             //递推
     }
 }

但程序仍不算最优，举个例子：

                     图3-13/14 求next数组各值的错误解法

按照之前的算法，S串和T串在i = 3 和 j = 3 处时不匹配，j = next[i] = 1,即取出T[1] = b的值跟S[3]匹配，但其实T[1] == T[3] == b，相当于是废步。因此若要优化，要从此处着手。

即排除T[j] == T[next[j]]的情况，故，在if里边再加个判断

if(T[i] != T[j])

才   next[i] = j;

else

next[i] = next[j];    //前缀==后缀的情况要区别单ling出来

按这个逻辑，再走一遍上边那个例子：

初始化：nextval[0] = -1，我们得到第一个next值即-1.

            图4-2 第一个next值即-1

    i = 0，j = -1，由于j == -1，进入上述循环的if部分，++i得i=1，++j得j=0，且ptrn[i] != ptrn[j]（即a！=b）），所以得到第二个next值即nextval[1] = 0；

            图4-3 第二个next值0

   上面我们已经得到，i= 1，j = 0，由于不满足条件j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j]，所以进入循环的esle部分，得j = nextval[j] = -1；此时，仍满足循环条件，由于i = 1，j = -1，因为j == -1，再次进入循环的if部分，++i得i=2，++j得j=0，由于ptrn[i] == ptrn[j]（即ptrn[2]=ptrn[0]，也就是说第1个元素和第三个元素都是a），所以进入循环if部分内嵌的else部分，得到nextval[2] = nextval[0] = -1；

         图4-4 第三个next数组元素值-1

    i = 2，j = 0，由于ptrn[i] == ptrn[j]，进入if部分，++i得i=3，++j得j=1，所以ptrn[i] == ptrn[j]（ptrn[3]==ptrn[1]，也就是说第2个元素和第4个元素都是b），所以进入循环if部分内嵌的else部分，得到nextval[3] = nextval[1] = 0；

最终，代码确定为：

 //代码4-1
 //修正后的求next数组各值的函数代码
 void get_nextval(char const* ptrn, int plen, int* nextval)
 {
     int i = 0;
     nextval[i] = -1;
     int j = -1;
     while( i < plen-1 )
     {
         if( j == -1 || ptrn[i] == ptrn[j] )   //循环的if部分
         {
             ++i;
             ++j;
             //修正的地方就发生下面这4行
             if( ptrn[i] != ptrn[j] ) //++i，++j之后，再次判断ptrn[i]与ptrn[j]的关系
                 nextval[i] = j;      //之前的错误解法就在于整个判断只有这一句。
             else
                 nextval[i] = nextval[j];
         }
         else                                 //循环的else部分
             j = nextval[j];
     }
 }

我想KMP学习可以暂时告一段落，随着体会的深入看能不能有新的认识。