使用LFM（Latent factor model）隐语义模型进行Top-N推荐

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最近在拜读项亮博士的《推荐系统实践》，系统的学习一下推荐系统的相关知识。今天学习了其中的隐语义模型在Top-N推荐中的应用，在此做一个总结。

隐语义模型LFM和LSI，LDA，Topic Model其实都属于隐含语义分析技术，是一类概念，他们在本质上是相通的，都是找出潜在的主题或分类。这些技术一开始都是在文本挖掘领域中提出来的，近些年它们也被不断应用到其他领域中，并得到了不错的应用效果。比如，在推荐系统中它能够基于用户的行为对item进行自动聚类，也就是把item划分到不同类别/主题，这些主题/类别可以理解为用户的兴趣。

对于一个用户来说，他们可能有不同的兴趣。就以作者举的豆瓣书单的例子来说，用户A会关注数学，历史，计算机方面的书，用户B喜欢机器学习，编程语言，离散数学方面的书， 用户C喜欢大师Knuth, Jiawei Han等人的著作。那我们在推荐的时候，肯定是向用户推荐他感兴趣的类别下的图书。那么前提是我们要对所有item（图书）进行分类。那如何分呢？大家注意到没有，分类标准这个东西是因人而异的，每个用户的想法都不一样。拿B用户来说，他喜欢的三个类别其实都可以算作是计算机方面的书籍，也就是说B的分类粒度要比A小；拿离散数学来讲，他既可以算作数学，也可当做计算机方面的类别，也就是说有些item不能简单的将其划归到确定的单一类别；拿C用户来说，他倾向的是书的作者，只看某几个特定作者的书，那么跟A，B相比它的分类角度就完全不同了。

显然我们不能靠由单个人（编辑）或team的主观想法建立起来的分类标准对整个平台用户喜好进行标准化。

此外我们还需要注意的两个问题：

1. 我们在可见的用户书单中归结出3个类别，不等于该用户就只喜欢这3类，对其他类别的书就一点兴趣也没有。也就是说，我们需要了解用户对于所有类别的兴趣度。
2. 对于一个给定的类来说，我们需要确定这个类中每本书属于该类别的权重。权重有助于我们确定该推荐哪些书给用户。

下面我们就来看看LFM是如何解决上面的问题的？对于一个给定的用户行为数据集（数据集包含的是所有的user, 所有的item，以及每个user有过行为的item列表），使用LFM对其建模后，我们可以得到如下图所示的模型：（假设数据集中有3个user, 4个item, LFM建模的分类数为4）

 

R矩阵是user-item矩阵，矩阵值Rij表示的是user i 对item j的兴趣度，这正是我们要求的值。对于一个user来说，当计算出他对所有item的兴趣度后，就可以进行排序并作出推荐。LFM算法从数据集中抽取出若干主题，作为user和item之间连接的桥梁，将R矩阵表示为P矩阵和Q矩阵相乘。其中P矩阵是user-class矩阵，矩阵值Pij表示的是user i对class j的兴趣度；Q矩阵式class-item矩阵，矩阵值Qij表示的是item j在class i中的权重，权重越高越能作为该类的代表。所以LFM根据如下公式来计算用户U对物品I的兴趣度

我们发现使用LFM后， 

1. 我们不需要关心分类的角度，结果都是基于用户行为统计自动聚类的，全凭数据自己说了算。
2. 不需要关心分类粒度的问题，通过设置LFM的最终分类数就可控制粒度，分类数越大，粒度约细。
3. 对于一个item，并不是明确的划分到某一类，而是计算其属于每一类的概率，是一种标准的软分类。
4. 对于一个user，我们可以得到他对于每一类的兴趣度，而不是只关心可见列表中的那几个类。
5. 对于每一个class，我们可以得到类中每个item的权重，越能代表这个类的item，权重越高。

那么，接下去的问题就是如何计算矩阵P和矩阵Q中参数值。一般做法就是最优化损失函数来求参数。在定义损失函数之前，我们需要准备一下数据集并对兴趣度的取值做一说明。

数据集应该包含所有的user和他们有过行为的（也就是喜欢）的item。所有的这些item构成了一个item全集。对于每个user来说，我们把他有过行为的item称为正样本，规定兴趣度RUI=1，此外我们还需要从item全集中随机抽样，选取与正样本数量相当的样本作为负样本，规定兴趣度为RUI=0。因此，兴趣的取值范围为[0,1]。


采样之后原有的数据集得到扩充，得到一个新的user-item集K={(U,I)}，其中如果(U,I)是正样本，则RUI=1，否则RUI=0。损失函数如下所示：

上式中的是用来防止过拟合的正则化项，λ需要根据具体应用场景反复实验得到。损失函数的优化使用随机梯度下降算法：

1. 通过求参数PUK和QKI的偏导确定最快的下降方向；

1. 迭代计算不断优化参数（迭代次数事先人为设置），直到参数收敛。

其中，α是学习速率，α越大，迭代下降的越快。α和λ一样，也需要根据实际的应用场景反复实验得到。本书中，作者在MovieLens数据集上进行实验，他取分类数F=100，α=0.02，λ=0.01。
               【注意】：书中在上面四个式子中都缺少了


综上所述，执行LFM需要：

1. 根据数据集初始化P和Q矩阵（这是我暂时没有弄懂的地方，这个初始化过程到底是怎么样进行的，还恳请各位童鞋予以赐教。）
2. 确定4个参数：分类数F，迭代次数N，学习速率α，正则化参数λ。

LFM的伪代码可以表示如下：

 def LFM(user_items, F, N, alpha, lambda):
     #初始化P,Q矩阵
     [P, Q] = InitModel(user_items, F)
     #开始迭代
     For step in range(0, N):
         #从数据集中依次取出user以及该user喜欢的iterms集
         for user, items in user_item.iterms():
             #随机抽样，为user抽取与items数量相当的负样本，并将正负样本合并，用于优化计算
             samples = RandSelectNegativeSamples(items)
             #依次获取item和user对该item的兴趣度
             for item, rui in samples.items():
                 #根据当前参数计算误差
                 eui = eui - Predict(user, item)
                 #优化参数
                 for f in range(0, F):
                     P[user][f] += alpha * (eui * Q[f][item] - lambda * P[user][f])
                     Q[f][item] += alpha * (eui * P[user][f] - lambda * Q[f][item])
         #每次迭代完后，都要降低学习速率。一开始的时候由于离最优值相差甚远，因此快速下降；
         #当优化到一定程度后，就需要放慢学习速率，慢慢的接近最优值。
         alpha *= 0.9

本人对书中的伪代码追加了注释，有不对的地方还请指正。

当估算出P和Q矩阵后，我们就可以使用(*)式计算用户U对各个item的兴趣度值，并将兴趣度值最高的N个iterm（即TOP N）推荐给用户。

总结来说，LFM具有成熟的理论基础，它是一个纯种的学习算法，通过最优化理论来优化指定的参数，建立最优的模型。