NOJ 1017 乘积最大 (经典的区间dp)

乘积最大

时间限制(普通/Java) : 1000 MS/ 3000 MS          运行内存限制 : 65536 KByte

描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

    设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

    同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1)  3*12=36

2)  31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入

输入共有两行：

第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）

第二行是一个长度为N的数字串。

输出

输出所求得的最大乘积（一个自然数）,答案在long long数据范围之内。

样例输入

4  2
1231

样例输出

62

题目来源

NOIP 2000

题目链接 :http://acm.njupt.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1017

题目分析：经典的区间dp问题，两个二维数组mul和dp，mul[i][j]表示字符串第i位到第j位表示的数字，dp[i][j]表示前i个数字有j个括号时的最大值（dp[n][k]为最终答案）仔细分析不难得到状态转移方程：dp[i，j] = max（dp[i][j]， dp[m，j-1] * mul[m+1，i])   j <= m <=i;

转移方程的解释：dp[i][j]为所有（（前m个数有j－1个括号的值）＊（第m＋1位到第i位数字的值））的最大值。

由于k>0，先求得dp初始状态dp[i][0]，然后通过转移方程便可得到答案。

分析一下样例的求解过程：

mul[1][1] = 1;        mul[1][2] = 12;        mul[1][3] = 123;        mul[1][4] = 1231;

mul[2][2] = 2;        mul[2][3] = 23;        mul[2][4] = 231;    

mul[3][3] = 3;        mul[3][4] = 31;      

mul[4][4] = 1;

dp初始化为 -1

dp[1][0] = 1;       dp[2][0] = 12;       dp[3][0] = 123;       dp[4][0] = 1231;

dp[2][1] = 1 * 2 = 2;

dp[3][1] = max(1*23 , 12*3) = max(23 , 36) = 36;

dp[4][1] = max(1*231 , 12*31 , 123*1) = max(231 ,  372 , 123) = 372;

dp[4][2] = max(dp[2][1] * 31 , dp[3][1] * 1) = max(62 , 36) = 62;

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int n, k;
    char str[42];
    int mul[42][42], dp[42][7], cnt;
    while(scanf("%d %d", &n, &k) != EOF)
    {
        memset(dp, -1, sizeof(dp));    
        memset(mul, 0, sizeof(mul));
        scanf("%s", str + 1);           
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = i; j <= n; j++)
            {
                cnt = 0;                
                for(int m = i; m <= j; m++) 
                    cnt = cnt * 10 + str[m] - '0';
                mul[i][j] = cnt;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            dp[i][0] = mul[1][i];
        for(int j = 1; j <= k; j++)     
            for(int i = j + 1; i <= n; i++)     
                for(int m = j; m <= i; m++)
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[m][j - 1] * mul[m + 1][i]);
        printf("%d\n",dp[n][k]);
    }
}