Yale开放课程博弈论8

首先回顾一下上节课的Candidates Voter Model得到的几个结论：

1. 存在多个纳什均衡，但是并非均衡中的所有候选人都在中间。（和中间选民模型不太一样）

2. 当左右派分别有一个人参加竞选且处于均衡状态时，左派的一个人加入会加大右派人赢得可能性，自己收益更小。

3. 当左右派两个参选的候选人的立场太极端，立场靠近中间的人加入到竞选中会获胜。

4. 寻找纳什均衡依旧需要靠Guess and check，且需系统地猜，认真地检查。

另外，对于第三点，如何度量这个极端呢？当把立场看做0-1的直线，我们将其6等分，则当左派候选人位于1/6处，右派候选人位于5/6处时，中间1/2处的人参与竞选的话，他们三个人赢得选举的概率均为1/3，即只要左右派的候选人稍微从1/6或者5/6处往中间移动一点点，他们就可以形成纳什均衡。

简单回顾完上节课的游戏后，这节课的例子是选址问题（Location Model），假设有两个小镇分别为E和W，每个小镇限制居住10万人，有两类人T和S，各10万人。现在让这20万人各自选择小镇居住，必须遵守两个规则：所有人同时选择；若选择某小镇的人超过限制，则随机分配。

还有一点很重要的就是收益，每个人的收益与他所处的小镇中与他同类型的人的数目，如果其小镇上其他人都与他的类型不同，则其收益为0，若小镇上两类人各占一半，则每个人的收益是1，若小镇上全是同一类人，则每个人的收益为1/2。画出每个人的收益与其所处的小镇中与其同类的人的数目的图形，可以看到是两端线段。

接下来就是在班上的实验，老师把前7排同学分为S，后面的分为T，为了更好的游戏，每个人初始时选择了一个小镇，即前7排中有4排住在E，3排住在W，后面的则有4排住在W，3排住在E。几轮游戏下来，基本前7排的所有同学选择了E，后面的所有同学选择了W。

分析纳什均衡，共有以下三种情况：

1）所有S选择E，或者所有S选择W，即种族隔离现象。所有人的收益为1/2，没有人会选择离开，因为一旦有人选择搬去另外一个小镇，其收益就变为0。

2）每一个小镇中都是一半S一半T，即混居。所有人的收益为1，但是稍微波动后就会使得整体趋向于1）中的均衡，即为一种弱纳什均衡，不稳定。

3）所有人选择同一个小镇，根据游戏规则，所有人会被随机分配。

从以上的游戏中我们可以得到一些小结论：

1）一些为了增加游戏合理性的规则可能导致一种均衡。（Seeming irrelevant detail can matter）

2) 社会随机分配可能会产生比自我选择要好的结果。（Having society randomize for you ended up better than "Active choice"）

关于社会学得到的一些结论：

1）随处可见的这种种族隔离现象并不能说明人们更喜欢种族隔离，我们不能凭现象武断地下结论。即个体选择导致这一社会现象与偏爱无关，这是谢林提出的一大论点。

2）对于这种种族隔离现象，我们可以有什么政策呢？这里说到了60年代美国的校车问题，以及后来的哈佛大学学生选宿舍的问题。一个比较好的对策是自上而下采用中央集权制地去随机分配。

3） 另一种方案是每个人自主地随机选择。

这里的策略与之前的例子中我们遇到的策略都不同的是，策略的选择引入了随机性，我们把这种策略称为“混合策略”（randomized mixed strategy），那之前的就被称为”纯策略“。

下面以一个大家非常熟悉的石头剪刀布（Rock, Paper, Scissors）的游戏说明，有些情况下不存在纯策略下的纳什均衡，但是存在混合策略下的纳什均衡。

在纯策略下我们很容易检查没有纳什均衡，因为你让一方选择一个策略后，让对方选择最佳应对策略，可以一直循环下去，不存在均衡的情况。

而若对手采用(1/3, 1/3, 1/3)的概率随机选择三种策略时，我若选择石头，则收益为0*1/3+1*1/3-1*1/3=0，对于剪刀和布也是一样，如果我也采用(1/3, 1/3, 1/3)的概率随机选择三种策略则总收益还是0，不会存在比这种选择更好的应对策略，即两者都是选择了最佳应对策略，达到了纳什均衡。