Yale开放课程博弈论9

本节课的主要内容是讲解混合策略，以及混合策略中纳什均衡的求解。

上节课最后简单介绍了一个混合策略的例子“石头剪刀布”，这节课首先严格定义了混合策略。混合策略的期望收益是纯策略期望收益的加权平均，即处于他们之间。有了这一点非常重要，对于我们后面寻找纳什均衡可以得到一个重要的结论，那就是：若一混合策略是最佳对策，那么它的每个纯策略也是最佳对策，且期望收益相等。一个很简单的例子是，我有三个助教，现要任选几个使得平均身高最大。若大家身高不等，为了使得平均身高最大，我肯定会只选择最高的那个助教。

 

有了这些理论知识点后，我们就可以把它运用到实际的例子网球比赛中去。

假设Venus和Serena进行网球比赛，假设她们相互认识，她们之间的收益矩阵如下：

V/S   l        r

L       50,50        80,20

R       90,10        20,80

我们可以看到这里Venus的进攻优势为R，而Serena的防守软肋是L，那么Venus在比赛的时候究竟该如何选择呢？

跟石头剪刀布的例子类似，我们根本找不到纯策略下的纳什均衡，那么对于混合策略如何寻找纳什均衡呢？这里有一个小trick。

为了寻找S的纳什均衡最佳混合对策，不妨设为(q, 1-1)，我们需要关注V的收益：

若V选择L，收益为50q+80(1-q)；

若V选择R，收益为90q+20(1-q)。

根据最开始得到的结论，达到纳什均衡肯定有50q+80(1-q) = 90q+20(1-q)，可求得q=0.6。

同样利用S的收益可以找到S的最佳混合策略为(0.7, 0.3)，即纳什均衡为[S(0.7, 0.3), V(0.6, 0.4)]。若S选择L的概率大于0.7，则V的最佳对策是选择纯策略r；若V选择l的概率大于0.6，则S的最佳对策是选择纯策略R。

 

如果S的教练教会她反手截击，使得上述的收益矩阵中(L, l)变为(30,70)，两者的博弈会发生什么变化呢？

对于S，有两点影响：

1）  直接影响，S的反手截击比较厉害，选择左边收益会更大，使得她更倾向于选择l，即q会增加。

2）  间接影响 (strategiceffect)，由于V知道S的反手截击技术，V就会减少选择L，这又使得S会减少选择l，即q会减少。

一个是直接影响，一个是间接影响，究竟结果会偏向哪边呢？我们再用上面的方法计算一遍，得到的结果是q = 0.5，与原来的0.6相比减少了，即间接影响占上风。

而V的最佳混合策略会怎么变化呢？计算结果是p=7/12，与原来的7/10相比减少了。

现在撇开这些计算结果，我们来简要分析一下。当(L, l)变为(30,70)后，若V的策略不改变，则S选择纯策略l会更好，达不到均衡。若S的策略不改变，则V选择纯策略R会更好，也达不到均衡。若S的策略朝l倾向，则V会朝R倾向，V一旦向R倾向，S的对策肯定要向r倾向，直至达到上述计算出的纳什均衡。