1996年全国普通高等学校招生数学统考试题（理科）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至8页.

　　共150分.考试时间120分钟.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅰ卷(选择题共65分)

　　注意事项:

　　　　1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.

　　　　2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再

　　　　　选涂其它答案,不能答在试题卷上.

　　　　3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.

　一、选择题:本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

　　　选项中,只有一项是符合题目要求的.

　　(1)已知全集I=N,集合A={x│x=2n,n∈N},B={x│x=4n,n∈N},则

　　　(A)I＝A∪B    (B)I＝ ∪B　　　(C)I＝A∪   　 (D)I＝ ∪

　　(2)当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log _ax的图象是

　　　

　　(3)若sin ²x＞cos ²x,则x的取值范围是

　　　(A){x|2kπ－3/4π＜x＜2kπ＋1/4π，k∈Z}
　　　　　
　　　(B){x|2kπ＋1/4π＜x＜2kπ＋5/4π，k∈Z}

　　　(C){x|kπ－1/4π＜x＜kπ＋1/4π，k∈Z}

　　　(D){x|kπ＋1/4π＜x＜kπ＋3/4π，k∈Z}

　　(4）复数(2＋2i) ⁴/(1－ i) ⁵
　　　
　　　(A)1＋   i 　　 　(B)－1＋   i 　　　 (C)1－   i     　(D)－1－   i  

　　(5)如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m α和m⊥γ

　　　(A)α⊥γ且l⊥m   　(B)α⊥γ且m∥β　　　(C)m∥β且l⊥m 　　(D)α∥β且α⊥γ

　　(6)当－π/2≤x≤π/2，函数f(x)＝sinx＋ cosx的

　　　(A)最大值是1，最小值是－1　　　　　　(B)最大值是1，最小值是1/2

　　　(C)最大值是2，最小值是－2　　　　　　(C)最大值是2，最小值是－1

　　(7)椭圆的两个焦点坐标是

　　　(A)(－3,5)，(－3,－3)　　　　　　　　(B)(3,3)，(3,－5)
　
　　　(C)(1,1)，(－7,1)　　　　　　　　　　(D)(7,－1)，(－1,－1)

　　(8)若0＜a＜π/2，则arcsin[cos(π/2＋a)]＋arccos[sin(π＋a)]等于

　　　(A)π/2　　　　(B)－π/2　　　　(C)π/2－2a　　　　(D)－π/2－2a

　　(9)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD＝a,则三棱锥D-ABC的体积为

　　　(A)a ³/6　　　　(B)a ³/12　　　　　(C)( /12)a ³　　　　(D)( /12)a ³

　　(10)等比数列{a _n}的首项a ₁＝－1，前n项和为S _n，若S ₁₀/S ₅＝31/32，则limS _n等于

　　　(A)2/3　　　　　(B)－2/3　　　　(C)2　　　　　　　(D)－2

　　(11)椭圆的极坐标方程为ρ＝3/(2－cosθ)，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是

　　　(A)(3,0)，(1,π)　　　　　　　　(B)( ,π/2)，( ,3π/2)

　　　(C)(2,π/3)，(2,5π/3)　　　　　(D)( ,arctg( /2))，( ,2π－arctg( /2))

　　(12)等差数列{a n}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为

　　　(A)130   　　　　　(B)170 　　　　　   (C)210   　　　　　 (D)260

　　(13)设双曲线x ²/a ²－y ²/b ²＝1(0＜a＜b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0,b)两点，已知原点到直线

　　　　l的距离为 /4c，则双曲线的离心率为

　　　(A)2  　　　　　　 (B) 　　　　　　   (C)  　　　　　 (D)2 /3

　　(14)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图圆心角ψ等于

　　　(A)2  /3 π　　　(B)2 /3　π　　　　(C) π 　　　　(D)2 /3π

　　(15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于

　　　(A)0.5   　　　　　 (B)-0.5　　　　　　(C)1.5    　　　　(D)-1.5


　　　　　　　　　　　　　　　　　　第Ⅱ卷(非选择题共85分)
　　
　注意事项：

　　　1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.

　　　2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.

　二.填空题:本大题共4小题;每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.

　　(16)已知圆x ²+y ²-6x-7=0与抛物线y ²=2px(p>0)的准线相切.则P=_______.

　　(17)正六边形的中心和顶点共7个点,以其中3个点为顶点的三角形共有_____个(用数字作答).

　　(18)tg20°＋tg40°＋tg20°tg40°的值是_______

(19)如图,正方形ABCD所在平面与正方形ABEF 　　　　所在平面成60°的二面角,则异面直线AD 　　　　与BF所成角的余弦值是______.

　三.解答题:本大题共6小题;共69分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

得分 评卷人

(20)本小题满分11分

　　　解不等式log_a(1－1/x)＞0

得分 评卷人

(21)本小题满分12分

　　　已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，1/cosA＋1/cosA＝－/cosB，求cos(A－B)/2

　　　的值。

得分 评卷人

(22)本小题满分12分

　　　如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁.

　　　(Ⅰ)求证:BE=EB1;
　　
　　　(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁;求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　注意:在下面横线上填写适当内容,使之成为(Ⅰ)的完整证明,并解答(Ⅱ).

　　　(Ⅰ)证明:在截面A₁EC内,过E作EG⊥A₁C,G是垂足.
　
　　　　　① ∵__________________________________

　　　　　　　∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF⊥AC,

　　　　　② ∵___________________________________

　　　　　　∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG,BF、EG确定一个平面,交侧面AC₁于FG.

　　　　　③ ∵ __________________________________


　　　　　　∴BE∥FG,四边形BEGF是平行四边形,BE=FG,

　　　　　④ ∵_________________________________

　　　　　　∴FG∥AA₁,△AA₁C∽△FGC,

　　　　　⑤ ∵_________________________

　　(Ⅱ)解:

得分 评卷人

(23)本小题满分10分

　　某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果

　人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷)?

　　　　　　　(粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数)

得分 评卷人

(24)本小题满分12分

　　已知l₁、l₂是过点P(－1,,0)的两条互相垂直的直线，且l₁、l₂与双曲线y²－x²＝1各有两个交点，

　　分别为A₁、B₁和A₂、B₂

　　(Ⅰ)求l₁的斜率k₁的取值范围Ⅲ

　　(Ⅱ)若|A₁B₁|＝|A₂B₂|，求l₁、l₂的方程

得分 评卷人

(25)本小题满分12分

　　已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1.

　　(Ⅰ)证明:│c│≤l;
　
　　(Ⅱ)证明:当-1≤x≤1时,│g(x)│≤2;

　　(Ⅲ)设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x).


　　　　　　　　　　1996年普通高等学校招生全国统一考试

　　　　　　　　　　　　　数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准

　说明:

　　一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法

　　　　与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.

　　二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,

　　　　可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部

　　　　分的解答有较严重的错误,就不再给分.

　　三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

　　四. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

　一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.第(1)-(10)题每小题4分,第(11)-(15)题每小题5分.满分65分.
　
　　　　(1)C   　　　　 (2)A   　　　　 (3)D    　　　　(4)B   　　　　  (5)A
　　
　　　　(6)D   　　　　 (7)B   　　　　 (8)A   　　　　 (9)D   　　　　  (10)B
　
　　　　(11)C   　　　　(12)C    　　　(13)A   　　　　(14)D   　　　　 (15)B

　二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.


　　　　(16)2　　　　　(17)32　　　　(18)　　　　(19)/4

　　　(20)本小题考查对数函数性质,对数不等式的解法,分类讨论的方法和运算能力.满分11分.

　　　　　解：(Ⅰ)当a＞1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0	2分
	1－1/x＞a

　　　　　　　　　由此得1－a＞1/x

　　　　　　　　　因为1-a<0,所以x<0,

　　　　　　　　　∴1/(1－a)＜x＜0　　　　　　　　　　　　　　　　5分

　　　　　　　(Ⅱ)当0<a<1时,原不等式等价于不等式组:

	1－1/x＞0　　　①	7分
	1－1/x＜a　　　②

　　　　　　　　　由①得,x＞1或x＜0,

　　　　　　　　　由②得,0＜x＜1/(1－a)，

　　　　　　　　　∴1＜x＜1/(1－a)。　　　　　　　　　　　　　　　10分

　　　　　　　　　综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|1/(1－a)＜x＜0}，

　　　　　　　　　　　　　0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜1/(1－a)}.　　　11分

　　　(21)本小题考查三角函数基础知识,利用三角公式进行恒等变形和运算的能力.满分12分.

　　　　　解法一：由题设条件知B=60°,A+C=120°.    2分

　　　　　　　　　∵－/cos60°＝－2

　　　　　　　　　∴1/cosA＋1/cosC＝－2

　　　　　　　　　将上式化简为cosA＋cosC＝－2cosAcosC

　　　　　　　　　利用和差化积及积化和差公式,上式可化为

　　　　　　　　　2cos(A＋C)/2cos(A－C)/2=－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]

　　　　　　　　　将cos(A＋C)/2＝cos60°＝1/2，cos(A＋C)＝－1/2代入上式得

　　　　　　　　　cos[(A－C)/2]＝/2－cos(A－C)

　　　　　　　　　将cos(A－C)＝2[cos²(A－C)/2]－1代入上式并整理得

　　　　　　　　　4cos²(A－C)/2＋2cos(A－C)/2－3＝0

　　　　　　　　　2cos[(A－C)/2－][2cos(A－C)/2＋3]＝0

　　　　　　　　　2cos(A－C)/2＋3≠0

　　　　　　　　　2cos(A－C)/2－＝0

　　　　　　　　　从而得cos(A－C)/2＝/2　　　　　　　　12分

　　　　　解法二：由题设条件知B=60°,A+C=120°.

　　　　　　　　　设α＝(A－C)/2，则A－C＝2α，可得A＝60°＋α，C＝60°－α　　　3分

　　　　　　　　　所以1/cosA＋1/cosC＝1/cos(60°＋α)＋1/cos(60°－α)

　　　　　　　　　　　　＝1/(1/2cosα－/2sinα)+1/(1/2cosα＋/2sinα)

　　　　　　　　　　　　＝cosα/(cos2α－3/4)　　　　　　　　7分　

　　　　　　　　　依题设条件有cosα/(cos2α－3/4)＝－/cosB

　　　　　　　　　∵　cosB＝1/2　

　　　　　　　　　∵　cosα/(cos2α－3/4)＝－2

　　　　　　　　　整理得4cos2α＋2cosα－3＝0

　　　　　　　　　(2cosα－)(2cosα＋3)＝0

　　　　　　　　　2cosα＋3≠0

　　　　　　　　　2cosα－＝0

　　　　　　　　　从而得　cos(A－C)/2＝/2　　　　　　　12分

　　　(22)本小题考查空间线面关系,正三棱柱的性质,逻辑思维能力,空间想象能力及运算能力.满分12分.

(Ⅰ)	①∵面A1EC⊥侧面AC1,    2分
	②∵面ABC⊥侧面AC1,    3分
	③∵BE∥侧面AC1,    4分
	④∵BE∥AA1,    5分
	⑤∵AF=FC,    6分

　　　(Ⅱ)解：分别延长CE、C₁B₁交于点D,连结A₁D.

　　　　　　

　　　　　　　∵CC₁⊥面A₁C₁B₁,即A₁C₁是A₁C在平面A₁C₁D上的射影,根据三垂线定理得DA₁⊥A₁C,

　　　　　　　所以∠CA₁C₁所求二面角的平面角.    11分

　　　　　　　∵CC₁=AA₁=A₁B₁=A₁C₁,∠A1C1C=90°,

　　　　　　　∴∠CA₁C₁=45°,即所求二面角为45°.    12分

　　(23)本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力,指数函数和二项式定理的应用,近

　　　　似计算的方法和能力.满分10分.

　　　　解：设耕地平均每年至多只能减少X公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.

　　　　　　依题意得不等式

　　　　　　　　　

　　　　答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.    10分

　　(24)本小题主要考查直线与双曲线的性质,解析几何的基本思想,以及综合运用知识的能力.满分12分.

　　　　有两个不同的解.在方程组①中消去y,整理得

　　　　有两个不同的解.在方程组③中消去y,整理得

　　　　又因为l₁⊥l₂,所以有k₁·k₂=-1.    4分

　　　　于是,l₁、l₂与双曲线各有两个交点，等价于

　　(Ⅱ)设A₁(x₁y₁),B1(x₂y₂)1.由方程②知

　　　　∴│A₁B₁│2=(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²

　　　　将⑤、⑥代入上式得

　　(25)本小题主要考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质，以及综合运用数学知识分析问题与

　　　　解决问题的能力。满分12分.

　　(Ⅰ)证明：由条件当-1≤x≤1时,│f(x)│≤1,取x=0得

　　　　　　　│c│=│f(0)│≤1,

　　　　　　　即│c│≤1.    2分

　　(Ⅱ)证法一：当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,

　　　　　　　∴g(-1)≤g(x)≤g(1),

　　　　　　　∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

　　　　　　　∴g(1)=a+b=f(1)-c≤│f(1)│+│c│≤2,

　　　　　　　　g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(│f(-1)│+│c│≥－2,

　　　　　　　由此得│g(x)│≤2;    5分

　　　　　　　当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,

　　　　　　　∴g(-1)≥g(x)≥g(1),

　　　　　　　∵│f(x)│≤1(-1≤x≤1),│c│≤1,

　　　　　　　∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤│f(-1)│+│c│≤2,

　　　　　　　　g(1)=a+b=f(1)-c≥-(│f(1)│+│c│)≥-2,

　　　　　　　由此得│g(x)│≤2;    7分

　　　　　　　当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c.

　　　　　　　∵-1≤x≤1,

　　　　　　　∴│g(x)│=│f(1)-c│≤│f(1)│+│c│≤2.

　　　　　　　综上得│g(x)│≤2.    8分

　　　　　　　根据含绝对值的不等式的性质,得

　　　　　　　即    │g(x)│≤2.    8分

　　　　　(Ⅲ)因为a>0,g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,

　　　　　　　即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2.①

　　　　　　　∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1,

　　　　　　　∴c=f(0)=-1.    10分

　　　　　　　因为当-1≤x≤1时,f(x)≥-1,即f(x)≥f(0),

　　　　　　　根据二次函数的性质,直线x=0为f(x)的图象的对称轴,由此得

　　　　　　　由① 得a=2.

　　　　　　　所以 f(x)=2x²-1.    12分