【有上下界的网络流】

相对于一般的网络流，有上下界的网络流的某些边多出了流量下界的限制，如边u->v，上下界为high、low，如果有流经过这条边，这个流必须在[low，high]这个区间内。这类题目主要要求解决下面三个问题，“有源汇、无源汇的可行流”、“有源汇的最大流”、“有源汇的最小流”，注意这里所说的源汇是原网络中的源汇，分别记为s、t。
　　这类题目的难点在于下界的限制很难处理，我们将所有有下界限制的边中分离出“必须边”来单独做考虑，所谓“必须边”就是必须要满流的边，如上述的边，我们可以拆成两条边，第一条是“必须边”，流量上限为low，第二条是一般的边，流量上限为high-low。
　　怎样对必须边进行考虑呢？我们建立新的超级源汇，记为ss、tt，对于所有必须边再次进行拆边处理，如上述必须边u->v，应该拆成ss->v、u->tt两条流量上限都为low的边（这里很重要，应该要好好理解，我当时学的时候是不断画图来体会这种思想的）。
 
　　经过上述步骤，我们所需要的网络已经建立好了，依次来分析那三个问题。（这里所提到的所有变量均为上面所定义的）
 
一、有源汇、无源汇的可行流。
　　求可行流，其实就是问是否存在一个方案可以使所有必须边都满流。对于有源汇的网络，我们可以添加一条边t->s，流量上限为INF，这样就变成了无源汇的网络。对于无源汇的网络，只要对ss到tt求一次最大流，若所有必须边都满流，则有可行解，若要求打印方案，只需将非必须边中流过的流量加上流量下界（必须边已满流）。
 
二、有源汇的最大流
　　这里的最大流，前提是使所有必须边满流，再要求从s到t的流量最大（注意，这里所求的最大流是原网络的最大流，而我们求ss到tt的最大流只是用于判断是否能使所有必须边满流）。首先判断所有必须边是否满流，这里和问题一中提到的方法一样，注意这里是有源汇的网络。然后直接对残留网络求一次从s到t的最大流，这个最大流再加上流量下界就是最终答案。
 
三、有源汇的最小流
　　和问题二相反，我们要使所有必须边满流的情况下，要求从s到t的流量最小。这个问题比上面的问题都要复杂，分三个步骤。
1、对ss到tt求一次最大流，记为f1。（在有源汇的情况下，先使整个网络趋向必须边尽量满足的情况）
2、添加一条边t->s，流量上限为INF，这条边记为p。（构造无源汇网络）
3、对ss到tt再次求最大流，记为f2。（要判断可行，必须先构造无源汇网络流，因此要再次求最大流）
 
如果所有必须边都满流，证明存在可行解，原图的最小流为“流经边p的流量”（原图已构造成无源汇网络，对于s同样满足入流 == 出流，只有新添加的边流向s，而s的出流就是原图的最小流）。

　　这类题目的建模难度都很小，几乎可以一眼看出网络流模型，主要是构图、求解方面的问题，这里贴出我找到的仅有的6道题目的核心代码，所有求最大流都是用Dinic，这里为了尽量简洁略去Dinic的实现。然后题意、类型、题解也不写了，认真读完上面的讲解已经足够解决以下问题。

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转自 http://nightelf.sinaapp.com/2012/%E6%9C%89%E4%B8%8A%E4%B8%8B%E7%95%8C%E7%9A%84%E7%BD%91%E7%BB%9C%E6%B5%81%E4%B8%93%E8%BE%91.html#comment-188