HDU 1576 A/B 扩展欧几里德算法 模线性方程入门题

很详细的资料：http://blog.csdn.net/lulipeng_cpp/article/details/7612490

补充以下结论，自己推的，解释了以上博客里的疑惑。 

方程ax+by=gcd(a,b)，即 模线性方程ax≡d(mod b) ，令d = gcd(a,b)。假设 模线性方程的解为 x0， y0。

结论1：则有 max( abs(x0),abs(y0) ) < max( abs(a), abs(b) ); 

结论2：若d = a， 则 x = 1，y = 0； 若 d = b，则 x = 0，y = 1；

结论3：则方程的所有解为 x = x0 + b/d*i, y = y0 - a/d*i。(i = 0, +1, -1, +2, -2, ..........)；

          且 abs(x0) < b/d, abs(y0) < a/d;  该模线性方程的最小正整数解（x） 为  min(x) = ( x + b ) % b;

结论4：如果要求方程ax+by=w(   即ax≡w(mod b)   )的解， 模线性方程有解的充要条件为d|w，令 t = w/d；

          方程的所有解为x = (x0 + b/d*i) * t, y = (y0 - a/d*i) * t。(i = 0, +1, -1, +2, -2, ..........)；

          该模线性方程的最小正整数解（x） 为  min(x) = (x*t + b )% b;

注意： 结论4最后一行 x*t可能超int（HDU这题没超），以后做题需要注意这点，最好模板都写成__int64

View Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL __int64
LL ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) //模板
{
    if(!b)    { x = 1; y = 0; return a;}
    else
    {
        LL t = ex_gcd(b, a%b, x, y);
        LL tmp = x;
        x = y;
        y = tmp - a/b * y;
        return t;
    }
}

int main()
{
    LL x, y, n, b;
    int cas;
    scanf("%d", &cas);
    while(cas--)
    {
        scanf("%I64d%I64d", &n, &b);
        ex_gcd(b, 9973, x, y);
        x = ( (x * n % 9973 ) + 9973 ) % 9973; // x*n注意可能会超int
        printf("%d\n", x);
    }
    return 0;
}