【bzoj2242】[SDOI2011]计算器 数论相关（快速幂＋扩展欧几里得＋BSGS）
2242: [SDOI2011]计算器
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Description
你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。
Input
输入包含多组数据。
第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。
以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。
Output
对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。
题目链接：
题意：中文题。。。
１．快速幂
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
long long ans=1;
while(bb>0)
{
if(bb&1) ans=ans*aa%p;
aa=aa*aa%p;
bb>>=1;
}
printf("%lld\n",ans);
}２．扩展欧几里德解线性同余方程 ax=b(mod n)
while(T--)
{
long long x,y;
long long d;
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
ex_gcd(aa,p,d,x,y);
if(bb%d!=0)
{
printf("Orz, I cannot find x!\n");
continue;
}
x=x*(bb/d)%p;
x=(x%(p/d)+p/d)%(p/d);
printf("%lld\n",x);
}
３．高次同余方程a^x=b(mod n),Baby Step Giant Step算法::
while(T--)
{
flag=0;
long long x,y;
long long d;
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
aa%=p;
if(!aa&&!bb)
{
printf("1\n");
continue;
}
if(!aa)
{
printf("Orz, I cannot find x!\n");
continue;
}
mp.clear();
long long m=ceil(sqrt(p)),t=1;
mp[1]=m+1;
for(long long i=1;i<m;i++)
{
t=t*aa%p;
//cout<<t<<" "<<i<<endl;
if(!mp[t]) mp[t]=i;
//cout<<" "<<mp[1]<<endl;
}
//cout<<"SB"<<endl;
long long tmp=cheng(aa,p-m-1,p),ine=1;
//cout<<" "<<tmp<<endl;
//cout<<"SB"<<endl;
for(long long k=0;k<m;k++)
{
//cout<<bb<<" "<<ine<<endl;
int i=mp[bb*ine%p];
//cout<<k<<" "<<i<<endl;
if(i)
{
flag=1;
if(i==m+1) i=0;
printf("%lld\n",k*m+i);
break;
}
ine=ine*tmp%p;
}
if(!flag)
printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
}思路：
———–三个模版…………..
说一下a^x=b(mod n)的Baby Step Giant Step算法（一点分块的思想）
ｍ取ｓｑｒｔ（ｐ）；
求y^x=z(mod p)设x=km+i
y^km∗y^i≡z
yi≡z∗ine(y^km)(逆元)
用费马小定理
｛
ｙ^(p-1)mod p=1;
y^m * y^(p-m-1) mod p =1;
y^m的逆元为y^(p-m-1)
｝
ine(y^m)≡y^(p−1−m)
设其为T
ine(y^km)≡ine(y^(k−1)m)∗T
把y^i(0<=i<=m)放入map;
然后枚举k，查询
z∗ine(y^km)
代码：
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<cmath>
#include<string.h>
#include<map>
using namespace std;
int T,k;
int flag=0;
long long aa,bb,p;
map<int,int> mp;
void solve1()
{
while(T--)
{
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
long long ans=1;
while(bb>0)
{
if(bb&1) ans=ans*aa%p;
aa=aa*aa%p;
bb>>=1;
}
printf("%lld\n",ans);
}
}
void ex_gcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y)
{
if(b==0)
{
x=1,y=0;
d=a;
return ;
}
ex_gcd(b,a%b,d,x,y);
long long x0=x;
x=y;
y=x0-(a/b)*y;
}
void solve2()
{
while(T--)
{
long long x,y;
long long d;
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
ex_gcd(aa,p,d,x,y);
if(bb%d!=0)
{
printf("Orz, I cannot find x!\n");
continue;
}
x=x*(bb/d)%p;
x=(x%(p/d)+p/d)%(p/d);
printf("%lld\n",x);
}
}
long long cheng(long long a,long long b,long long p)
{
long long ans=1;
while(b>0)
{
if(b&1) ans=ans*a%p;
a=a*a%p;
b>>=1;
}
return ans;
}
void solve3()
{
while(T--)
{
flag=0;
long long x,y;
long long d;
scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&p);
aa%=p;
if(!aa&&!bb)
{
printf("1\n");
continue;
}
if(!aa)
{
printf("Orz, I cannot find x!\n");
continue;
}
mp.clear();
long long m=ceil(sqrt(p)),t=1;
mp[1]=m+1;
for(long long i=1;i<m;i++)
{
t=t*aa%p;
//cout<<t<<" "<<i<<endl;
if(!mp[t]) mp[t]=i;
//cout<<" "<<mp[1]<<endl;
}
//cout<<"SB"<<endl;
long long tmp=cheng(aa,p-m-1,p),ine=1;
//cout<<" "<<tmp<<endl;
//cout<<"SB"<<endl;
for(long long k=0;k<m;k++)
{
//cout<<bb<<" "<<ine<<endl;
int i=mp[bb*ine%p];
//cout<<k<<" "<<i<<endl;
if(i)
{
flag=1;
if(i==m+1) i=0;
printf("%lld\n",k*m+i);
break;
}
ine=ine*tmp%p;
}
if(!flag)
printf("Orz, I cannot find x!\n");
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&T,&k);
if(k==1) solve1();
if(k==2) solve2();
if(k==3) solve3();
}