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后缀自动机小结

以下主要来自CLJ的ppt，整理并添加了一些附注(错误讲解)
以下皆为口胡，为了装逼掉RP而搞成高端(?)的形式。
神犇轻喷。
Markdown面对长博文，学校的电脑有点力不从心啊。。

1 前序

定义1： SAM(s) ：表示字符串s的后缀自动机。
定义2：rev(s)：逆序的s。
定义3： Reg(s) ：从状态 s 开始可识别的所有字符串（到目标状态）。
定义4： trans(s,str) ：从状态 s 开始，转移为 str ，到达的状态
定义5： ST(s)=trans(init,s) ，即从初始状态开始，转移为 str ，到达的状态，显然该状态表示了子串 s
定义6： Right 集合：对于子串 s ，出现在母串 S 中的位置是： [l1,r1),[l2,r2),⋯,[ln,rn) ，那么 Right(s)={r1,r2,⋯,rn}
推论1：若 Right(s)={r1,r2,⋯,rn} ，则 Reg(s)={suf(r1),suf(r2),⋯,suf(rn)} 。

2 Right集合

2.1 集合的唯一性

前提：对于 a,b∈substr(S) ，若 Right(a)=Right(b) ,有 Reg(ST(a))=Reg(ST(b)) ,也有 ST(a)=ST(b) （我们要状态数最简）。
推论2：任意两个状态的Right集合不同。同一个状态可以表示多个子串，且这些子串的Right集合相同。
推论3：状态的个数=本质不同的Right集合的个数（初始状态这里不计入）。
推论4：某个子串对应的状态的Right集合大小就是子串的出现次数。如果未对应任何状态则不存在该子串。

2.2 子串的后缀性质

引理1：两个非空子串a和b且 |a|<|b| 满足 Right(a)=Right(b) ，有 a 是 b 的后缀。
证明：由于a和b可以分别表示为 s[ra−|a|,ra) 和 s[rb−|b|,rb) ，由于 Right(a)=Right(b) ，因此 ra 与 rb 存在一一对应关系，而 |a|<|b| ， a 和 b 是有共同右端点的s子串，有 a 是 b 的后缀。

推论5：如果已知状态s能表示的最长子串，s能表示的所有子串必然是该最长子串的后缀。

2.3 子串的长度性质

定义7：状态 s 能表示的子串存在长度，定义为 [min(s),max(s)] 。
从引理1的证明中可看出些端倪。注意 min(s) 不一定为1。
如果长度越来越小，肯定存在一个下限，使得再减小，Right集的元素就会变多。
如果长度越来越长，肯定存在一个上限，使得再增加，Right集的元素就会变少（想想看？）。

定义8：fa(s)，满足 Right(fa(s)) 是包含 Right(s) 的最小集合，即 Right(s)⊂Right(fa(a)) 。

推论6： max(fa(s))=min(s)−1 。
证明：当表示的子串长度 =min(s)−1 时， Right(s) 就发生了扩充，由定义6知，新集合即 Right(fa(s)) 。
这相当于，fa(s)表示的子串，是s表示子串的后缀，而且紧接s所表示的子串，存在是s状态以外能表示的最长的后缀。

推论7： Right(trans(s,c))⊆Right(trans(fa(s),c)) 。

2.4 状态

引理2：同状态表示的子串的最后一个字符相同。
证明：同状态表示的子串为后缀包含关系。
推论8：若 trans(x1,c1)=trans(x2,c2)=⋯=trans(xn,cn)=s ，有 c1=c2=⋯=cn 。
证明：即从其他状态转移一个字符而来，也就是说，指向状态s的边的字符都一样。由引理2可知，到达状态s的所有路径表示出的子串的最后一个字符相同。

引理3：若 trans(s,ch)!=null ，有 trans(fa(s),ch)!=null 。
证明：由于Right集合沿fa走总是在扩充的。

引理4：若 trans(s,c)=t,s[ri]=c ，有 ri+1∈Right(t) 。
证明：对于 Right(s)=r1,r2,⋯,rn ，只有 s[ri]=c 的才符合要求，则t的Right集合就包含 s[ri]=c|ri+1 。

推论9： max(t)>max(s) 。
证明：由于 t 是 s 的后继，此时 max′(t)=max(s)+1 ，然后 max(t)=maxmax′(t) ，得证。

2.5 集合的从属性

引理5：两个子串 a 和 b ( |a|>|b| )，要么 Right(a)∩Right(b)=∅ ，要么 Right(a)⊂Right(b) 。

证明，法1：若 Right(a)∩Right(b)≠∅ ，标明子串 a 和 b 在某个位置同时结束即作为右端点，这种情况只可能有 b 是 a 的后缀。因此 a 出现的地方， b 必定出现，有 Right(a)⊂Right(b) 。

证明，法2：首先要明确的是任两个状态不可以同时表示一个子串（显然，否则匹配子串的时候该走哪一个状态呢？），也就是状态 u 和 v 表示的子串没有交集。设 a 和 b 的Right集合有交集，那么令 r∈Right(a)∩Right(b) ，拥有相同结束位置 r ，此时的子串都可以看作是[0..r)的后缀，由于子串没有交集，也就是说子串的长度没有交集。所以 [min(a),max(a)] 和 [min(b),max(b)] 无交集，不妨令 max(a)<min(b) ，也就是说a表示的子串长度均小与b，且a的是b的后缀，因此 Right(b)⊂Right(a)

3 Parent树（F♂A）

定义9：Parent树，由s->fa(s)组成的一棵树。
发现max(s)随着沿fa移动，越来越小，直到0，而初始状态的范围显然是[0,0]。也就是说，沿着fa移动，总会到达初始状态，即由fa构成边组成的树是以初始状态为根的有向树。
Parent树满足， Right(s)⊂Right(ancestor(s))
由关系树可以保存各点的Right集合而且大小线性，dfs序可便捷地查询。

引理6： trans(v1,c)=trans(v2,c)=⋯=trans(vn,c)=s ，有 v1,v2,⋯,vn 有顺序地构成Parent树链。
证明：可以配合引理2看。由引理4可得，必存在 ri+1∈Right(s) ，且 ri∈Right(vi),s[ri]=c ，即 Right(v1)∩Right(v2)∩⋯∩Right(vn)≠∅ ，因此 Right(vi) 存在包含关系，即 vi 间成Parent树链。

引理7：Parent树的节点数不超过 2n−1(n≥3) 。
证明：从推论2，定义6出发。Parent树的叶子节点的Right集合元素为1个，而非叶子节点至少有2个孩子，得证。

4 性质

4.1 线性

引理8：后缀自动机的转移数不超过 3n−3 条。
证明：如果对后缀自动机做生成树（和Parent树无关），树边为2n-2条（树节点为2n-1个），考虑非树边，对于转移 trans(a,c)=b ，构造一个字符串 x+c+y ，使 x 满足 ST(x)=a ， trans(b,y)=end ，且转移完全经过生成树，发现这个转移从始态通向终态，即表明该字符串是后缀自动机所识别的后缀。由于后缀数目为n，完整串不为x+c+y，因此非树边数目至多 n−1 条，和为 3n−3 条。

推论X：后缀自动机的状态数为 O(n) ，转移数为 O(n) 。
证明：由引理7和引理8得知。

4.2 与后缀树的联系

SAM(s)的Parent树即rev(s)的后缀树。
s的后缀树的转移指针即SAM(s)中的转移。
SAM(s)与rev(s)的后缀树的状态一一对应。
两者可以在 O(n) 时间内相互转化。
通过直观判断可知。详见附录5。具体证明这里省略。

4.3 与后缀数组的联系

待续。。

以上有一些口胡对下面的构造算法没啥用，权当手工建立后缀自动机时判定正确性的手段。

5 构造算法

前面一大篇的性质讨论，现在终于到算法层面了。

5.1 算法推演

    考虑每次添加一个字符，维护所有原后缀。
    设当前字符串为 T ，新字符为 x 。
    考虑所有表示了 T 的后缀（也就是原后缀）的节点（满足Right集合包含 len(T) ）： v1,v2,⋯ 。
    上次添加之后的 p=ST(T) ，有 Right(p)={len(T)} （由于其表示整个T，所以p能表示的子串只能是T的后缀，因此Right只有一个值即 len(T) ）
    我们在添加了x之后，令 np 表示 ST(Tx) ， Right(np)={len(Tx)} 。
    由Parent树，令 p 以及其祖先： v1=p,v2,⋯,vk=rt
    对于 v ，有 Right(v)={r1,r2,⋯,rn=len(T)}
    由状态第3点可知，存在转移 x ，那么 v 以及其祖先的 Right 集合均含有 s[ri]=x|ri 。不存在转移呢？说明 Right(v) 不含这样的 ri ，祖先可能含有，也可能不含有，我们要建立 v 的转移 x ，意味着祖先就必须都有转移 x ，此时只有 rn 满足(Tx[lenT]=x)，建立 trans(v,x)=np 即可。如果祖先原来都没有这样的转移，表明x不属于原串，那么 fa(np)=rt 就很显然了。
    以上是不存在冲突的转移，接下来考虑冲突的转移，考虑序列中第一个存在转移x的状态 p;Right(p)={r1,r2,⋯,rn(rn<len(Tx))} ，令 s[ri]=x|ri,q=trans(p,x) ，那么 Right(q)={ri+1} ，直接向 Right(q) 加入 len(Tx) ？如果 max(q)=max(p)+1 ，表明q从p接收了(对于q而言)最长的子串，扩展这个子串时，我们不需要考虑 ri−max(q) 之前的字符对于当前状态的影响，是没有问题的，建立转移x->np，令 fa(np)=q 即可。
    否则我们就要考虑之前的字符对当前状态的影响了，如果我们强行加入 len(Tx) ，若 s[len(Tx)−max(q)] 与 s[ri−max(q),ri) 不一致，这导致了再 max(q) 下， q 所表示的字符串不同，则 max(q) 就必须变小（至少得小到使最大长度为max(q)时所表示的字符串都是一样的），就会打破我们之前建立的自动机的正确性了。
    考虑拆解状态 q ，为了避免之前字符对当前状态的影响，我们就把没有影响的max(p)拿给 np ，即 Right(nq)=Right(q)∪{len(Tx)}(Right(np)),max(nq)=max(p)+1 ，然后 Right(q),Right(np)⊂Right(nq) ，有 fa(q)=fa(np)=nq 。由于链上所有的祖先的Right集合都要加入 len(Tx) ，因此 Right(np) 肯定会属于 q 原来的parent，因此 fa(np)=fapre(q) 。
    发现 len(Tx)∈Right(nq) ，不影响 nq 的转移（没有从 len(Tx) 往后的转移，不存在于原串），因此 nq 的转移等同于原来的 q 的转移。
新建了状态 nq 还有东西要处理，由于我们以 nq 代替 q ，因此与 q 相关联的转移x也要更新， q 的所有转移 x 的出发点组成Parent链，由引理6可知这个Parent链肯定是 v1,v2,⋯,vk 中的连续的一段，更新这一段的转移 x 为 nq 即可。
    从算法的角度看来，状态数显然是线性的，每次添加字符，都会至多增加2个节点。

5.2 描述

令 p=ST(T),Right(p)={len(T)} 。
新建 np=ST(Tx),Right(np)={len(Tx)} 。
对 p 的所有没有转移 x 的祖先 v ，建立 trans(v,x)=np 。
如果 p 没有存在转移 x 的祖先 v ，令 fa(np)=rt 。
如果存在，对p的第一个存在转移x的祖先p(原来的p没用了，这里重定义一下)，令 q=trans(p,x) ，若 max(q)=max(p)+1 ，建立 fa(np)=q ；
否则建立状态 q 的克隆(parent指针以及转移)状态 nq ，并 fa(q)=fa(np)=nq ，并对于 trans(v,x)=q 的p的祖先 v ，令 trans(v,x)=nq 。

5.3 代码

void extend(char c) {
    int np = ++cnt, p = last; last = np; ma[np] = ++len;
    while (p && !trans[p][c]) trans[p][c] = np, p = fa[p];
    if (!p) fa[np] = rt;
    else {
        int q = ch[p][c];
        if (ma[p] + 1 == ma[q]) fa[np] = q;
        else {
            int nq = ++cnt; ma[nq] = ma[p] + 1;
            memcpy(trans[nq], trans[q], sizeof trans[q]);
            fa[nq] = fa[q]; fa[q] = fa[np] = nq;
            while (p && trans[p][c] == q) trans[p][c] = nq, p = fa[p];
        }
    }
}

不自带psmatrix根本没有耐心上图。。
建议看附录7一图流。

这里文字描述一下附录7的一图流的构造过程。。。不懂的可以辅助地看。。不过还是建议在草稿纸上跟着画比较好。
现在我们要构建aabbabd的SAM。
1. 首先有一个初始状态S， max(S)=0 。
2. 加入字符a，建立新状态1，上次的终态S没有转移，建立 trans(S,a)=1 ，令1的Parent为S， max(1)=1 。
3. 加入字符a，建立新状态2，上次的终态1没有转移，建立 trans(1,a)=2 ，1的后缀链接S存在转移a，但是由于 max(S)+1=max(1) ，令2的Parent为1， max(2)=2 。
4. 加入字符b，建立新状态3，上次的终态2以及Parent：1和S均没有转移b，建立转移到3，令3的Parent为S， max(3)=3 。
5. 加入字符b，建立新状态4，上次的终态3没有转移b，建立；3的后缀链接S存在转移b，而且 max(S)+1≠max(3) ，因此拆解状态3，建立新状态5，复制3的转移以及Parent，令4和3的Parent指向5，将S的转移b指向5， max(5)=1 ， max(4)=4 。
6. 加入字符a，建立新状态6，上次的终态4和其后缀连接5没有转移a，建立；5的后缀连接S存在转移a指向1，但是满足 max(S)+1=max(1) ，因此令6的Parent为1， max(6)=5 。
7. 加入字符b，建立新状态7，上次的终态6没有转移b，建立；6的后缀链接1存在转移b到3，拆解3，建立新状态8，复制3的转移以及Parent，改3和7的Parent为8，将状态1的转移b改到状态8， max(8)=2,max(7)=6 。
8. 加入字符d，建立新状态9，上次的终态7即其后缀链接8,5,S，建立转移d到9， max(8)=7 。

SAM构造完成。

6 应用

判断某串是否是s的子串。dfs一次SAM(s)即可。
不同子串的个数。由于Right集合的唯一性，因此所有子串在SAM中都是不重复的，因此求出SAM的路径条数即可。要注意的是所有节点都可作为路径的终点，因此dp： d[v]=1+∑<u,v>∈E(SAM(s))d[u]
求第k大子串，以字典序dfs自动机即可从小到大遍历子串，处理出每个状态向后延伸的子串数，O(len(S))遍历即可。
求某子串在原串中的出现次数。即等于其Right集合的大小，又Right集合的从属性，O(len(S))预处理出SAM(s)以及各状态的Right集合大小，询问即找到对应状态即可。
某子串第一次出现的位置。相当于求其Right集合的最小值，在构建SAM的时候顺带求出即可。
某子串所有出现位置，相当于求其Right集合的所有元素，沿Parent树回溯一次即可。
求最短不为s子串的字符串，发现不存在于SAM中的状态就不为其子串，因此dp： d[u]=1+min<u,v>∈E(SAM(s))d[v]
求2串的最长公共子串。fa(s)和fail指针。AC自动机的fail指针指向下一个具有最长公共后前缀的状态，而后缀自动机的Parent指针指向是与其拥有最长公共后缀的的某个状态（因为max(fa(s))=min(s)+1）。这一我们可以在串A的自动机上匹配B，找出A和B的最长公共子串。代码好像和AC自动机差不多？（POJ 2774, SPOJ 1811）

for(i=0;s[i];++i) {
    c=s[i]-'a';
    while(p&&!trans[p][c])p=fa[p];
    if(!p)p=rt,len=0;
    else len=min(len,ma[p])+1,p=trans[p][c];
}

待续。。。。。
附录6似乎是一个论文的汉化，除了看起来有点烦躁之外挺好的（说得好像我这篇文章看起来就不烦躁似的）。

后缀自动机小结

1 前序

2 Right集合

2.1 集合的唯一性

2.2 子串的后缀性质

2.3 子串的长度性质

2.4 状态

2.5 集合的从属性

3 Parent树（F♂A）

4 性质

4.1 线性

4.2 与后缀树的联系

4.3 与后缀数组的联系

5 构造算法

5.1 算法推演

5.2 描述

5.3 代码

6 应用

7 附录

你可能感兴趣的:(字符串,后缀数组,后缀自动机,OI,后缀树)

后缀自动机 小结

1 前序

2 Right集合

2.1 集合的唯一性

2.2 子串的后缀性质

2.3 子串的长度性质

2.4 状态

2.5 集合的从属性

3 Parent树（F♂A）

4 性质

4.1 线性

4.2 与后缀树的联系

4.3 与后缀数组的联系

5 构造算法

5.1 算法推演

5.2 描述

5.3 代码

6 应用

7 附录

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后缀自动机小结