【bzoj2734】【HNOI2012】【集合选数】

2734: [HNOI2012]集合选数

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Description

《集合论与图论》这门课程有一道作业题，要求同学们求出{1, 2, 3, 4, 5}的所有满足以 下条件的子集：若 x 在该子集中，则 2x 和 3x 不能在该子集中。同学们不喜欢这种具有枚举性 质的题目，于是把它变成了以下问题：对于任意一个正整数 n≤100000，如何求出{1, 2,…, n} 的满足上述约束条件的子集的个数（只需输出对 1,000,000,001 取模的结果），现在这个问题就 交给你了。

Input

只有一行，其中有一个正整数 n，30%的数据满足 n≤20。

Output

仅包含一个正整数，表示{1, 2,…, n}有多少个满足上述约束条件 的子集。

Sample Input

4                        

Sample Output

8

【样例解释】

有8 个集合满足要求，分别是空集，{1}，{1，4}，{2}，{2，3}，{3}，{3，4}，{4}。

很巧妙的一个构造方法构造一个矩阵，使得 f[i][j+1]=f[i][j]∗3,f[i+1][j]=f[i][j]∗2 这样构造出矩阵之后，矩阵中的一个元素和他四个方向上的元素就不能同时选。
n的范围是 105 ，如果把每一行都压成一个状态的话，那么最多只有 log3(105)≈11 列， log2(105)≈17 行。转移的时候就枚举所有状态就行了。
有一个问题需要注意，不是所有数都能放在一个矩阵里的，所以要构建很多次矩阵。
时间复杂度： O(17∗211∗211)≈7∗107

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
#define Mod 1000000001
const int N=20;
const int M=100010;
bool flag[M];
int n,f[N][1<<N],map[N][N];
inline int calc(int x){
    int i,j,m=1,o=1,k,limit[N];
    flag[x]=false;
    for(map[1][1]=x,i=1;i<=N;++i){
        if(i!=1){
            if(map[i-1][1]*2>n) break;
            map[i][1]=map[i-1][1]*2;
            flag[map[i][1]]=false;
        }
        for(m=i,j=1;j<=N;++j){
            if(j==1) continue;
            if(map[i][j-1]*3>n) break;
            o=max(o,j);
            map[i][j]=map[i][j-1]*3;
            flag[map[i][j]]=false;
        }
    }
    for(i=1;i<=m;++i){
        for(j=1;j<=o;++j)
          if(!map[i][j]) break;
          else map[i][j]=0;
        for(limit[i]=0;j<=o;++j) limit[i]|=(1<<(o-j));
    }
    for(i=0;i<(1<<o);++i)
      if(!(i&(i<<1))&&!(i&(i>>1))&&!(limit[1]&i)) f[1][i]=1;
    for(i=2;i<=m;++i)
      for(j=0;j<(1<<o);++j)
        if(!(j&(j<<1))&&!(j&(j>>1))&&!(limit[i]&j))
          for(f[i][j]=0,k=0;k<(1<<o);++k)
            if(!(k&(k<<1))&&!(k&(k>>1))&&!(limit[i-1]&k)&&!(k&j))
              f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%Mod;
    int sum=0;
    for(i=0;i<(1<<o);++i)
      if(!(i&(i<<1))&&!(i&(i>>1))&&!(i&limit[m])) sum+=f[m][i];
    return sum;
}
int main(){
    LL ans=1;
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    memset(flag,1,sizeof(flag));
    for(i=1;i<=n;++i)
      if(flag[i]) ans=(ans*(LL)calc(i))%Mod;
    printf("%d\n",(int)ans);
}