[数据结构-后缀数组小结]
后缀数组是对文本串进行处理，而非模板串(在文本串中查找模板串)，例如搜索引擎。
而AC自动机是对模板串进行预处理。两者区别。
后缀trie树：对于字符串banana，可以把它的所有后缀（banana$，anana$，nana$，ana$，na$，a$）插入一颗trie树中。这样查询起来只需要对trie树进行一次遍历就行了。
后缀树（Suffix tree）：在实际应用中，会把后缀trie中没有分支的链合并到一起，得到所谓的后缀树，但由于后缀树构造算法复杂难懂，且容易写错（虽然代码并不长），在算法竞赛中很少使用。
后缀数组
定义：为叙述方便，我们直接把"以下标k开头的后缀"叫做后缀k。把所有后缀进行字典序排序，然后将排好序的后缀转化成对应的k，得到的数组就是后缀数组。
比如banana：a(5) ,ana(3), anana(1), banana(0), na(4), nana(2)
那么banana的后缀数组就是 5,3,1,0,4,2
显然，直接对所有后缀进行排序效率是很低的，那么我们可以使用倍增算法(double_algorithm)与三分算法(Difference Cover modulo 3)。
倍增算法（da）：
对于banana这个字符串：（以下表格体现的是rank数组的值，即当前后缀的排名。表格变化过程体现了da算法的过程）
1、先对每个后缀的第一个字母进行排序：
| b |
a |
n |
a |
n |
a |
| 2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
2、对每个后缀的前2个字符进行排序
| b |
a |
n |
a |
n |
a |
| 21 |
13 |
31 |
13 |
31 |
10 |
| 3 |
2 |
4 |
2 |
4 |
1 |
3、对每个后缀的前4个字符进行排序
| b |
a |
n |
a |
n |
a |
| 32 |
24 |
42 |
24 |
41 |
10 |
| 3 |
2 |
5 |
2 |
4 |
1 |
4、对每个后缀的前8个字符进行排序
| b |
a |
n |
a |
n |
a |
| 32 |
25 |
52 |
24 |
41 |
10 |
| 4 |
3 |
6 |
2 |
5 |
1 |
这时候所有名次已经两两不同了，分别是1~6，下面就不用进行排序了。
显然，如果继续对前16个字符进行排序，那么结果和上面是一样的
| b |
a |
n |
a |
n |
a |
| 43 |
36 |
62 |
25 |
51 |
10 |
| 4 |
3 |
6 |
2 |
5 |
1 |
由于每次比较的字符数都翻倍，所以比较次数是log(n)，而每次比较的复杂度是多少呢？
如果使用快速排序，那么每次需要O(nlogn)，总共的复杂度就是O(n*logn*logn)。然而这里可以使用基数排序来使每次排序达到O(n)。
基数排序是很容易理解的。
| //倍增算法--《后缀数组——处理字符串的有力工具》IOI2009 国家集训队论文 int wa[maxn],wb[maxn],wv[maxn],ws[maxn]; int cmp(int *r,int a,int b,int l) { return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l]; } /* 待排序的字符串放在 r 数组中，从 r[0]到 r[n-1]，长度为 n，且最大值小 于 m。为了函数操作的方便，约定除 r[n-1]外所有的 r[i]都大于 0, r[n-1]=0。 函数结束后，结果放在 sa 数组中，从 sa[0]到 sa[n-1]。 */ void da(int *r, int *sa, int n, int m) { int i,j,p,*x=wa,*y=wb,*t;
//第一步：对长度为1的字符串进行排序 for(i=0; i<m; i++) ws[i]=0; for(i=0; i<n; i++) ws[ x[i]=r[i] ]++; for(i=1; i<m; i++) ws[i]+=ws[i-1]; for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--ws[x[i]]]=i;
for(j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p) { for(p=0,i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i; for(i=0; i<n; i++) if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j;
for(i=0; i<n; i++) wv[i]=x[ y[i] ]; for(i=0; i<m; i++) ws[i]=0; for(i=0; i<n; i++) ws[wv[i]]++; for(i=1; i<m; i++) ws[i]+=ws[i-1]; for(i=n-1; i>=0; i--) sa[--ws[wv[i]]]=y[i]; for(t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0,i=1; i<n; i++) x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++; } } 代码理解： 函数的第一步，要对长度为 1 的字符串进行排序。一般来说，在字符串的题目中，r 的最大值不会很大，所以这里使用了基数排序。如果 r 的最大值很大（也就是m的值很大），那么把这段代码改成快速排序。 代码：
这里 x 数组保存的值相当于是 rank 值。下面的操作只是用 x 数组来比较字符的大小，所以没有必要求出当前真实的 rank 值。在初始化时，x数组和r数组一样，但这并不意味着x数组的意义和r一样，x数组保存的当前长度为j的子串的排名。因为这些"排名"可能会相同，也可能会断号（只在第一步可能断号），所以这不是严格意义的排名，我觉得更应该理解为优先级，x数值越大，优先级小，排名越靠后。初始化时可以理解为是对长度为1的子串进行排序，所以x可以和r一样，可以把r想象成对每一个长为1的子串的优先级定义。 接下来进行若干次基数排序，在实现的时候，这里有一个小优化。基数排序要分两次，第一次是对第二关键字排序，第二次是对第一关键字排序。对第二关键字排序的结果实际上可以利用上一次求得的 sa 直接算出， 没有必要再算一次。 代码：
其中变量j是上一轮排序的子串长度，数组y保存的是对第二关键字排序的结果 。 上述代码不太好理解，其实，在这段代码执行之前，sa数组存的是上一轮的排序结果，上一轮已经对长度为j的子串排好序了（这也就是为什么j从1开始循环而不从2开始，因为在for循环之前已经初始化求出排序长度为1的sa数组了），这一轮实际上是对长度为2*j的子串进行排序得到新的sa数组。而上述代码的功能就是利用上一轮的sa数组生成y数组，这里的y保存的是对长度为2*j的子串进行第二关键字排序的结果。 y数组详细解释：y数组保存的是字符串下标，y[i],y[i+1]分别表示排在第i位和排在第i+1位的长度为2*j的子串首下标，之前说过，这里的排序规则是第二关键字的字典序，也就是说它是根据这个2*j子串的后半部分的字典序进行排序的，而前半部分的排序还没有完成。 假设y[i]表示的字符串是 ????abcd 假设y[i+1]表示的字符串是 ????bcde 其中问号字符表示未知字符（不是问号本身），显然这里的j是4，y[i]之所以在y[i+1]的前面，是因为abcd< bcde，而y[i]保存的是????abcd这个子串的首下标，y[i+1]保存的是????bcde这个子串的首下标。
然后要对第一关键字进行排序，代码：
这样便求出了新的 sa 值。在求出 sa 后，下一步是计算 rank 值（优先级），也就是下一轮的x数组。这里要注意的是，可能有多个字符串的 x值是相同的，所以必须比较两个字符串是否完全相同， y 数组的值已经没有必要保存， 为了节省空间， 这里用 y 数组保存 rank值。 我们之前已经说过，y已经保存了第二关键字的排序结果，y[i]表示第二关键排名第i的子串首下标，那么如何计算下一轮的x数组呢？首先将x和y指针互换，x[sa[0]]=0的作用是根据已经计算好的sa数组初始化x数组的其中一个值，这个位置的rank是0毫无疑问，接下来不断更新x的其他值，p从1开始，如果当前子串和上一个子串完全相同，那么rank是p-1，否则，rank是p，且p++。这个也比较好理解。在比较排名相邻的两个子串是否完全相等的过程中，用到了y数组（原来的x数组），也就是比较这两个子串前后两部分的y值（原来的x，也就是原来的rank值）是否相同。 这一步完成之后，x数组保存的就是rank值，两个串相等的话，其rank值是相同的。
这里又有一个小优化，将 x 和 y 定义为指针类型，复制整个数组的操作可以用交换指针的值代替，不必将数组中值一个一个的复制。代码：
这里的cmp函数是： int cmp(int *r,int a,int b,int l) { return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l]; }
这里可以看到规定 r[n-1]=0 的好处，如果 r[a]=r[b]，说明以 r[a]或 r[b]开头的长度为l的字符串肯定不包括字符r[n-1] ， 所以调用变量 r[a+l]和r[b+l]不会导致数组下标越界，这样就不需要做特殊判断。执行完上面的代码后，rank值保存在 x 数组中，而变量 p 的结果实际上就是不同的字符串的个数。这里可以加一个小优化， 如果 p 等于 n， 那么函数可以结束。因为在当前长度的字符串中 ，已经没有相同的字符串，接下来的排序不会改变 rank 值。例如图 1 中的第四次排序，实际上是没有必要的。对上面的两段代码，循环的初始赋值和终止条件可以这样写： for(j=1,p=1;p<n;j*=2,m=p) {…………} 在第一次排序以后，rank 数组中的最大值小于 p，所以让 m=p。整个倍增算法基本写好，代码大约 25 行。 算法分析： 倍增算法的时间复杂度比较容易分析。每次基数排序的时间复杂度为 O(n) ，排序的次数决定于最长公共子串的长度，最坏情况下，排序次数为 logn 次，所以总的时间复杂度为 O(nlogn)。 |
注：关于dc3算法，其具体原理具体请参阅《IOI2009 国家集训队论文by罗穗骞》，该论文还包含两种算法的详细比较，内容太多，暂时不去研究了。