Scalaz（29）－ Free ：Coyoneda - Functor for free

  很多时候我们会遇到一些高阶类型F[_]，但又无法实现它的map函数，也就是虽然形似但F不可能成为Functor。看看下面的例子：

trait Interact[A]
case class Ask(prompt: String) extends Interact[String]
case class Tell(msg: String) extends Interact[Unit]

Interact类型只容许两种实例：Ask继承了Interact[String], Tell继承Interact[Unit]。我们无法获取map[A,B]函数的B值，因而无法实现map函数了。但是，往往在一些场合里我们需要把F当做Functor来使用，如用Free Structure把F升格成Monad。也就是说我们需要把Interact当做Functor才能构建一个基于Interact的Free Monad。Scalaz里的Coyoneda与任何F[_]类型成同构（互等），而Coyoneda是个Functor，这样我们可以用Coyoneda来替代F。在上面的例子里我们只要得出F的Coyoneda，然后我们就可以用这个Coyoneda来替代F，因为它们是同构的。我们来看看Coyoneda的定义：scalaz/Coyoneda.scala

sealed abstract class Coyoneda[F[_], A] { coyo =>
  /** The pivot between `fi` and `k`, usually existential. */
  type I

  /** The underlying value. */
  val fi: F[I]

  /** The transformer function, to be lifted into `F` by `run`. */
  val k: I => A
...
  /** Like `lift(fa).map(_k)`. */
  def apply[F[_], A, B](fa: F[A])(_k: A => B): Aux[F, B, A] =
    new Coyoneda[F, B]{
      type I = A
      val k = _k
      val fi = fa
    }
...
  type Aux[F[_], A, B] = Coyoneda[F, A] {type I = B}

  /** `F[A]` converts to `Coyoneda[F,A]` for any `F` */
  def lift[F[_],A](fa: F[A]): Coyoneda[F, A] = apply(fa)(identity[A])

即使F不是Functor，我们还是可以把F[A]拆成Coyoneda[F,A]。而Coyoneda和F同构，看下面scalaz里的代码：

  type CoyonedaF[F[_]] = ({type A[α] = Coyoneda[F, α]})

  import Isomorphism._

  def iso[F[_]: Functor]: CoyonedaF[F]#A <~> F =
    new IsoFunctorTemplate[CoyonedaF[F]#A, F] {
      def from[A](fa: F[A]) = lift(fa)
      def to[A](fa: Coyoneda[F, A]) = fa.run
    }

我们自己同样可以用更简单的方法来证明：

object proof_coyo {
 trait _Coyoneda[F[_],A] {
  type I
  def k: I => A
  def fi: F[I]
 }

 def toCoyo[F[_],A](fa: F[A]) =
    new _Coyoneda[F, A] {
      type I = A
      val k = (a: A) => a
      val fi = fa
    }
 def fromCoyo[F[_]: Functor,A](coyo: _Coyoneda[F,A]): F[A] =
    Functor[F].map(coyo.fi)(coyo.k)
   
}

对于任何类型F及A, 我们通过toCoyo, fromCoyo可以证明_Coyoneda和F[A]同构。 既然Coyoneda和F[A]同构，那么我们可以这样表述：F[A] >>> Coyoneda[F,A]。也就是说我们可以在任何地方用Coyoneda[F,A]替代F[A]。上面例子中的Interact也可以用Coyoneda替代：

trait Interact[A]
case class Ask(prompt: String) extends Interact[String]
case class Tell(msg: String) extends Interact[Unit]

type coyoInteract[A] = Coyoneda[Interact,A]