《Algorithms算法》笔记：元素排序(4)——凸包问题

《Algorithms算法》笔记：元素排序(4)——凸包问题

凸包问题

凸包问题就是说，找到一个最小的凸多边形能圈住所有的点。

凸包问题的应用

• 运动规划：找到从s到t的最短路径，最短路径肯定在凸包上

• 最远的一对：相隔最远的点对肯定在凸包上

凸包的几何性质

• 可以通过逆时针遍历所有凸包顶点
• 凸包的顶点是关于p的极角的递增序列，而p有最小的y坐标。

Graham 扫描算法

1. 选择y坐标最小的p
   
   • 如何确定最小y坐标？
     循环一遍
2. 对所有的点按关于p的 极角排序
   
   • 如何对点进行极角排序？
   • 如何效率的排序？
     用MergeSort

3. 按顺序连接每个点，如果发现打破 pi−2→pi−1→pi 打破了逆时针的原则，则舍弃 pi−1,pi 。

   • 如何判断是否打破了逆时针原则ccw？

   • 如何解决退化问题（多个点在一条直线上）

     通过计算（b-a）和（c-a）的叉乘就行了。
     如果area > 0 则是逆时针，
     如果area < 0 则是顺时针
     如果area = 0 则是共线

代码

由于每次要判断最后的2个点是否是逆时针，毫无疑问使用栈结构是比较合适的

public class Point2D {
   private final double x;
   private final double y;
   public Point2D(double x, double y)
   {
      this.x = x;
      this.y = y;
   } 
   ...
   public static int ccw(Point2D a, Point2D b, Point2D c)
   {
      double area2 = (b.x-a.x)*(c.y-a.y) - (b.y-a.y)*(c.x-a.x);
      if      (area2 < 0) return -1;  
// clockwise
      else if (area2 > 0) return +1;  
// counter-clockwise
      else                return  0;  
// collinear
   }
}
stack<Point2D> hull = new Stack<Point>();
Array.sort(p,Point2D.Y_ORDER);//find p
Array.sort(p,p[0],BY_POLAR_ORDER)//

hull.push(p[0]);
hull.push(p[1]);

for(i = 2;i <　N;i++)
{
    Point2D top = hull.pop();
    while(Point2D.ccw(hull.peek(),top,p[i]) <= 0)
        top = hull.pop();
    hull.push(top);
    hull.push(p[i]);

}