hdu--5666--Segment

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问题描述

\ \ \ \    Rivendell非常神,喜欢研究奇怪的问题.

\ \ \ \    今天他发现了一个有趣的问题.找到一条线段$x+y=q$,令它和坐标轴在第一象限围成了一个三角形,然后画线连接了坐标原点和线段上坐标为整数的格点.

\ \ \ \    请你找一找有多少点在三角形的内部且不是线段上的点,并将这个个数对$P$取模后告诉他.

输入描述

\ \ \ \    第一行一个数T,为测试数据组数.

\ \ \ \    接下来每一行两个数$q$,$P$,意义如题目中所示.

$q$是质数且q\le 10^{18},1\le P\le 10^{18},1\le T \le 10q≤10​18​​,1≤P≤10​18​​,1≤T≤10.

输出描述

\ \ \ \    对每组数据,输出点的个数模$P$后的值.

输入样例

1
2 107

输出样例

0

标准解释：

考虑一条以$(0,0)$为起点,$(x,y)$为终点的线段上格点的个数（不包含端点时）,

一定是$gcd(x,y)-1$,这个很显然吧.

然后整个网格图范围内的格点数目是\frac {q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

所以答案就是\frac {q*(q-1)} 2 -​2​​q∗(q−1)​​− 所有线段上的格点的个数.

因为$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)(b>a)$,

所以$gcd(x,y)=gcd(x,p-x)=gcd(x,p)$,p是质数,所以$gcd(x,y)=1$,

所以线段上都没有格点,所以答案就是\frac {q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​.

我自己是通过画图看出规律再利用累加的公式退出答案为
\frac {q*(q-1)} 2​2​​q∗(q−1)​​

-（q-1）即 (q-1) * (q-2) / 2.

注意是位数太大忘记考虑了！

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
#define N 102000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
ll multiply(ll a, ll b, ll p)
{//快速幂求乘积
	ll sum = 0;
	while (b){
		if (b & 1){
			sum += a;
			sum %= p;
		}
		a *= 2;
		a %= p;
		b >>= 1;
	}
	return sum;
}
int main()
{
#ifdef OFFLINE
	freopen("t.txt", "r", stdin);
#endif
	int i, j, n, t, m;
	ll q, p;
	scanf("%d", &t);
	while (t--){
		scanf("%I64d%I64d", &q, &p);
		//ll num = q*(q - 1) / 2 - (q - 1);
		printf("%I64d\n", multiply(q - 1, q - 2, 2*p) / 2);//p*2才对有点诡异！
	}
	return 0;
}