（1.3.7.1）选择排序：堆排序

堆排序(Heap Sort)：使用堆这种数据结构来实现排序。

先看下堆的定义：

最小堆(Min-Heap)是关键码序列{k0,k1,…,kn-1}，它具有如下特性：

ki<=k2i+1，

ki<=k2i+2(i=0,1,…)

简单讲：孩子的关键码值大于双亲的。

同理可得，最大堆(Max-Heap)的定义：

ki>=k2i+1，

ki>=k2i+2(i=0,1,…)

同样的：对于最大堆，双亲的关键码值大于两个孩子的(如果有孩子)。

堆的特点：

1. 堆是一种树形结构，而且是一种特殊的完全二叉树。
2. 其特殊性表现在：它是局部有序的，其有序性只体现在双亲节点和孩子节点的关系上(树的每一层的大小关系也是可以体现的)。兄弟节点无必然联系。
3. 最小堆也被称为小顶堆(根节点是最小的)，最大堆也被称为大顶堆(根节点是最大的)。我们常利用最小堆实现从小到大的排序，最大堆实现从大到小的排序。

最小堆和最大堆的两个示例图：

要想实现排序，第一个问题：如何建堆？(以最小堆为例，最大堆同理)

建堆：从最后一个内部节点开始，不断地向下调整，直到根节点。

画个流程图，看得更明白：矩形框表示要调整的位置

仔细看上面的流程图，相信你一定可以清楚明白整个调整过程。

建堆代码：我们使用顺序结构存储堆(可不要以为树形结构一定得使用链表来实现)，向下调整(heapSiftDown())的方法是关键，建堆的代码如下：

 void heapSiftDown(int a[], int n, int pos)   //从pos位置向下调整
 {
     int i = pos;
     int j = 2 * i + 1;   //j为i的左孩子
     while (j < n)
     {
         if (j + 1 < n && a[j + 1]<a[j])   //如果右孩子存在，并且右孩子<左孩子
             j++;
         if(a[i] < a[j])   //已满足堆序，不需调整
             break;   //为什么不是continue?因为子树已经排好堆序，结合流程图想想？
         swap(a[i], a[j]);   //交换元素
         i = j;
         j = 2 * i + 1;
     }
 }
 void createHeap(int a[], int n)   //建堆
 {
     if (a && n > 1)
     {
         for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)  //(n-2)/2是最后一个内部节点的下标
             heapSiftDown(a, n, i);
     }
 }

建堆时间复杂度：

建堆的时间复杂度是O(n)，推导比较复杂。下面粘贴出从资料上找到的推导过程：

对于n个节点的堆，其对应的完全二叉树的层数是logn。若i为层数，则第i层上的节点数最多为2^i(i>=0)。建堆时，每个非叶子节点都调用了一次heapSiftDown()函数，并且每个节点最多调整到最底层，即第i层上的节点调整到最底层的调整次数为logn-i(最大的)，则建堆的时间复杂度为

以上复杂度分析参考张铭等《数据结构与算法》，推导过程其实并不重要，关键在于我们可以肯定的是建堆是很快的，最多是线性的。

建好堆之后，如何实现堆排序呢？排序之前，我们先看有关堆的两个操作：插入和删除。理解了这两个操作，排序就自然清楚了。

堆的插入：插入时总是把新节点插入到堆的最后，并从插入位置向上调整，直到根节点或在此之前已满足堆序。

举个例子解释下这个过程：

红色的3是新添的节点。

注意：向上调整的时候，只关注插入位置到根节点的路径，其它路径上的节点是不用调整的。理由很简单：它们已是堆序。这一点可要想清楚了！

向上调整的代码如下：

 const int MAX=20;
 void heapSiftUp(int a[], int n)   //向上调整
 {
     int i,j;
     j = n-1;
     i = (i-1)/2;   //i为j的父节点
     while(i>=0)
     {
         if(a[j] >= a[i])
         break;
         swap(a[i], a[j]);
         j = i;
         i = (j-1)/2;  //更精确的写法： i=j%2?(j-1)/2:(j-2)/2;
     }
 }
 void addToHeap(int a[], int n, int data)
 {
     /*
     前提：数组a已排好堆序且数组还有多余位置存放新节点
     */
     if(n+1>MAX)
     {
         printf("数组已满！无法插入\n");
         return;
     }
     n++;
     a[n-1]=data;  //把新节点加到最后
     heapSiftUp(a, n);
 }

堆的删除：删除操作总是在堆顶进行(也有的说，可以在任意位置删除，但做法一样)，我们把最后一个节点填入待删除位置。然后从该位置向下调整。

同样给个示例图：

结合上面以给出的向下调整代码，则很好得到堆删除的代码，为了通用性，我们给出指定位置删除的代码：

 void deleteAt(int a[], int &n, int pos)  //删除pos位置的节点
 {
     if(pos >= n)
     {
         printf("删除的位置不对！\n");
         return;
     }
     a[pos] = a[n-1];  //把最后一个节点填到待删除位置
     n--;
     heapSiftDown(a, n, pos);   //向下调整
 }

特别地，删除堆顶就是 deleteAt(a, n, 0);

有了上面的铺垫，堆排序就呼之欲出了。

堆排序步骤：

1. 先建好堆。
2. 不断地删除堆顶即可(删除前记得打印堆顶元素)，直到只剩下一个元素。

似乎堆的插入操作没有用到。其实，当有新的元素加入到一个已建好堆序的序列中，就用到了。

下面看一个完整的堆排序代码：

 #include<iostream>
 #include<ctime>
 using namespace std;
 void heapSiftDown(int a[], int n, int pos)   //从pos位置向下调整
 {
     int i = pos;
     int j = 2 * i + 1;   //j为i的左孩子
     while (j<n)
     {
         if (j + 1 < n && a[j + 1]<a[j])   //如果右孩子存在，并且右孩子<左孩子
             j++;
         if (a[i] < a[j])   //已满足堆序，不需调整
             break;   //为什么不是continue?因为子树已经排好堆序
         swap(a[i], a[j]);   //交换元素
         i = j;
         j = 2 * i + 1;
     }
 }
 void createHeap(int a[], int n)   //建堆
 {
     if (a && n > 1)
     {
         for (int i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--)
             heapSiftDown(a, n, i);
     }
 }
 void deleteAt(int a[], int &n, int pos)  //删除pos位置的节点
 {
     if (pos >= n)
     {
         printf("删除的位置不对！\n");
         return;
     }
     a[pos] = a[n - 1];  //把最后一个节点填到待删除位置
     n--;
     heapSiftDown(a, n, pos);   //向下调整
 }
 void HeapSort(int a[], int n)    //堆排序
 {
     if (a && n > 1)
     {
         createHeap(a, n);
         while (n > 1)
         {
             printf("%4d", a[0]);
             deleteAt(a, n, 0);
         }
         printf("%4d\n", a[0]);
     }
 }
 int main()
 {
     printf("******堆排序演练***by David***\n");
     printf("原序列\n");
     const int N = 12;
     int *a = new int[N];
     srand((unsigned)time(NULL));
     for (int i = 0; i < N; i++)
     {
         a[i] = rand() % 100;
         printf("%4d", a[i]);
     }
     printf("\n");
     printf("经过堆排序\n");
     HeapSort(a, N);
     delete[]a;
     system("pause");
     return 0;
 }

    

运行：

pdate:2014-7-1 00:04

《算法导论》中介绍了一种使用最大堆实现从小到大排序的方法。

伪代码：

HeapSort(A)

1 BuildMaxHeap(A)

2 for i = A.length downto 2

3     exchange A[1] with A[i]

4     A.heap_size = A.heap_size-1

5     MaxHeapify(A, 1)

如果你看懂了上面的排序方法，这里的伪代码是很好明白的：当我们使用最小堆时，总是先把堆顶元素(当前最小)输出，再把最后一个元素调换到堆顶。使用最大堆(堆顶即为最大关键字)时，就没有这么麻烦了，直接交换首尾元素，这样最大的关键字就被调到最后了，再接着从堆顶向下调整，再次交换，次关键字就调到了倒数第二的位置……。最后原数组按从小到大排好序。

直接给出一个完整的实例：

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<time.h>
 void Swap(int& a, int& b)
 {
     if(a!=b)
     {
         a ^= b;
         b ^= a;
         a ^= b;
     }
 }
 //维护最大堆(从指定位置pos，向下调整)
 void MaxHeapify(int a[], int n, int pos)
 {
     int i, j;
     i = pos;
     j = 2 * i + 1;   //节点i的左孩子
     while (j < n)
     {
         if (j + 1 < n && a[j] < a[j + 1])
             j++;
         if (a[i] < a[j])
             Swap(a[i], a[j]);
         i = j;
         j = 2 * i + 1;
     }
 }
 //构建最大堆
 void BuildMaxHeap(int a[], int n)
 {
     if (a && n > 1)
     {
         int i, j;
         i = (n - 2) >> 1;
         while (i >= 0)
         {
             MaxHeapify(a, n, i);
             i--;
         }
     }
 }
 //堆排序
 void HeapSort(int a[], int n)
 {
     if (a && n > 1)
     {
         //先建堆
         BuildMaxHeap(a, n);
         while (n > 1)
         {
             //交换首尾元素
             Swap(a[0], a[n - 1]);
             //堆规模减一
             n--;
             //再次从堆顶调增
             MaxHeapify(a, n, 0);
         }
     }
 }
 int main()
 {
     printf("******最大堆实现从小到大排序***by David***\n");
     srand((unsigned)time(0));
     int a[12];
     printf("原序列\n");
     for (int i = 0; i < 12; i++)
     {
         a[i] = rand() % 100;
         printf("%4d", a[i]);
     }
     printf("\n经过堆排序\n");
     HeapSort(a, 12);
     for (int i = 0; i < 12; i++)
         printf("%4d",a[i]);
     printf("\n");
     system("pause");
     return 0;
 }

运行：

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