N皇后问题

一、问题描述：
　　在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。n后问题等价于再n×n的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不妨在同一行或同一列或同一斜线上。

输入：
　　给定棋盘的大小n (n ≤ 13)
输出：
　　输出有多少种放置方法。

二、解题思路：
　　 要解决N皇后问题，其实就是要解决好怎么放置这n个皇后，每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线，在这里我们可以以行优先，就是说皇后的行号按顺序递增，只考虑第i个皇后放置在第i行的哪一列，所以在放置第i个皇后的时候，可以从第1列判断起，如果可以放置在第1个位置，则跳到下一行放置下一个皇后。如果不能，则跳到下一列…直到最后一列，如果最后一列也不能放置，则说明此时放置方法出错，则回到上一个皇后向之前放置的下一列重新放置。此即是回溯法的精髓所在。当第n个皇后放置成功后，即得到一个可行解，此时再回到上一个皇后重新放置寻找下一个可行解…如此后，即可找出一个n皇后问题的所有可行解。

三、测试代码：
　在这里我写了两个实现方法，一个是递归回溯，一个是迭代回溯，思路都一样，只是形式不同罢了。

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 15 

int n; //皇后个数 
int sum = 0; //可行解个数 
int x[N]; //皇后放置的列数 


int place(int k){

    int i;   
    for(i=1;i<k;i++){

        //x[k]==x[i],第k行和第i行放在了同一列
        //abs(k-i)==abs(x[k]-x[i])表示在正对角线或者在斜对角线
        if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i]){
            return 0; 
        }
    }
    return 1;   
}   


//其中t表示行数，也就是数组的下标，这是要放置第t行，其中第t-1行已经成功放置
int queen(int t){   
    int i;

    if(t>n && n>0){         //当放置的皇后超过n时，可行解个数加1，此时n必须大于0 
        sum++;

        for(i=1;i<=n;i++){
            printf("%d ",x[i]);
        }

        printf("\n");

    }else{

        for(i=1;i<=n;i++){   
            x[t] = i;       //标明第t个皇后放在第i列 

            if(place(t)){   //如果可以放在某一位置，则继续放下一皇后 
                queen(t+1);
            }
        }
    }

    return sum;   
}   

int main(){

    int t;   
    scanf("%d",&n);   
    t = queen(1);   

    if(n == 0){             //如果n=0，则可行解个数为0，这种情况一定不要忽略 
        t = 0;
    }
    printf("%d",t);   
    return 0;   
}  

迭代回溯：
C代码

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 15 

int n;   
int sum = 0;   
int x[N];   

int place(int k){   
    int i;   
    for(i=1;i<k;i++)   
        if(abs(k-i)==abs(x[k]-x[i]) || x[k] == x[i])   
            return 0;   
        return 1;   
}   

int queen(){   
    int t=1; 
    x[1] = 0;   

    while(t>0){   
        x[t]+=1;   
        while(x[t]<=n && !place(t))   
            x[t]++;   
        if(x[t]<=n)   
            if(t == n)   
                sum++;   
            else  
                x[++t] = 0;   
            else  
                t--;   
    }   
    return sum;   
}   

int main(){   
    int t;   
    scanf("%d",&n);   
    t = queen();   
    printf("%d",t);   
    return 0;   
}  

　　迭代回溯的注释因为和递归回溯差不多，所以就不再附注了。在这里我们可以看到，递归回溯非常简单，结构很清晰，但它有一个潜在的问题存在，即当随着变量n的增大，递归法的复杂度也将成几何级增长，也有可能会出现重复的情况，所以我们在解决问题时，如果能用迭代法解决，最好还是不要用递归法，除非你已经对这个递归了如指掌了。
　　通过这个N皇后问题，我想大概已经把回溯法讲得很清楚了吧，回溯法得到的解展开就是一个树，很多方法都是可以通过回溯法来解决的，效率很高，但如果基数过大的话，回溯法就显得不是那么适用了，这也是回溯法的弱势吧。比如说这个N皇后问题，好像当n>60的时候，回溯法就不能完全地解决问题了，这时可以考虑用概率算法来解决，它可以解决很大的基数，只不过结果不是很精确而已。所以我们在面对一个问题时，具体是使用什么算法还是要结合实际情况来考虑的，目的都是更方便、更准确地解决问题。

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_696187fd0100p5ri.html#