HDU2082母函数模板题

找单词

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Problem Description

假设有x1个字母A， x2个字母B,..... x26个字母Z，同时假设字母A的价值为1，字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母，可以找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的所有字母的价值之和，比如，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比如ACM与CMA认为是同一个单词）。

 

Input

输入首先是一个整数N，代表测试实例的个数。
然后包括N行数据，每行包括26个<=20的整数x1,x2,.....x26.

 

Output

对于每个测试实例，请输出能找到的总价值<=50的单词数,每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

   
   
   
   

    
    
    
    2
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9
   
   
   
   

 

Sample Output

   
   
   
   

    
    
    
    7
379297
   
   
   
   

 

Source

2006/1/15 ACM程序设计期末考试

知识点:

母函数(生成函数):   

    生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种(本题是普通型)。

    形式上，普通型母函数用于解决多重集的组合问题，

                指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

    母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列，Catalan数的通项公式）。

普通母函数：

    构造母函数G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ an*，  则称G(x)是数列a0,a1…an的母函数。

    通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决问题，一般过程如下：

    1.建立模型：物品n种,每种数量分别为k1,k2,..kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，

      求属性值和为m的物品组合方法数。（若数量ki无穷 也成立，即对应下面式子中第ki项的指数一直到无穷）

    2.构造母函数：G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…)        （一）

                                =a0 + a1*x + a2* + a3* +....+ akk*     (设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn)  （二）

                  G(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。

母函数利用的思想：

    1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。

    2.把离散数列和幂级数对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来

       确定离散数列的构造。

代码实现：

    求G(x)时一项一项累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。

 

题解：

1.建模：物品(字母)26种，每种数量x1,x2…x26，属性值为1,2,3..26,求属性值和<=50的组合方法数。

2.G(x)=(1++…)(1+++…)…(1++…)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>


using namespace std;
int c1[100],c2[100];
int a[30];
int main()
{
    int t;
    cin >> t;
    while(t --)
    {
        for(int i = 1; i <= 26; i ++)
            cin >> a[i];
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        c1[0] = 1;///初始化
        for(int i = 1; i <= 26; i ++)///对应26个多项式
        {
            for(int j = 0; j <= 50; j ++)   ///每个多项式中对应的指数
                for(int k = 0; k <= a[i] && k * i + j <= 50; k ++)  ///k*i表示被乘多项式各项的指数
                    c2[j + k * i] += c1[j];
            memcpy(c1,c2,sizeof(c2));///c2数组的值赋值给c1
            memset(c2,0,sizeof(c2));///c2初始化
        }
        ///累加
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= 50; i ++)
            sum += c1[i];
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}