八皇后问题(python版理解)

一、 前言

八皇后问题是一个经典的数学问题,同时也是一个典型的回溯问题,《Python基础教程》简单的思路是:首先尝试在第1行放置第1个皇后,然后在第2行某个位置放置皇后,依次进行,当发现某行的所有位置都不能防止皇后时,回溯至上一行,试着将上一行皇后放置在其他位置,再考虑下一行皇后的位置。

二、规则描述

      首先由元组表示皇后的位置,如state[0] = 2,则表示第1行的皇后位于第3列,对于8皇后问题,需要取长度为8的元组表示8皇后的位置。同时该问题可扩展至n皇后。

      定义一个冲突函数描述已知皇后和下一个皇后的位置是否有冲突,该函数定义如下:

def conflict(state , nextX):
    nextY = len(state)
    for i in range(nextY):  #检查已知皇后在各行的位置是否与下一行成对角或同列关系
        if abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ):
            return True
    return False

     其中的表达式abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ) 理解为:对于第i行皇后的位置state[i],检查其与第nextY行皇后位置nextX是否是位于同列或对角。同列时满足:state[i] = nextX,也即state[i]– nextX = 0

对角时,有2种情形需要考虑,其一为第nextY行皇后位置出现于state[i]的右对角线,从水平方向上nextX - state[i] 与 垂直方向nextY – i 相等,即:nextX - state[i]= nextY – i

对于另一种情形,则第nextY行皇后位置出现于state[i]的左边对角线,从水平方向上state[i]- nextX  与 垂直方向nextY – i 相等,即:state[i]- nextX= nextY – i

    综上,对角线时满足,abs(state[i] - nextX) = nextY – i

三、基本情形

     从基本情形开始考虑:当剩余最后一个皇后时,遍历它所有可能的位置,并返回没有冲突发生的位置。函数如下。

def queens(num,state):
    if len(state) == num -1:  #num此处表示皇后总数
        for pos in range(num): #num此处表示遍历所有可能的位置
            if not conflict(state , pos):
                yield pos

四、递归

    基本情形完成之后,需要考虑此时所剩余的皇后不是最后一个的情形,此时由于需要递归调用queens函数,则可为前面queens函数添加else部分,遍历所有可能位置的可能情形,也即将 num中的所有可能位置加到当前元组中,直至遇到基本情形。代码如下:

else:
    for pos in range(num):
        if not conflict(state ,pos):
            for result in queens( num , state+ (pos ,)): #此处将所有可能进行递归
                yield (pos,) + result   

通过观察基本情形和递归调用的代码,发现可进一步简化代码,最终代码如下:

def conflict(state , nextX):
    nextY = len(state)
    for i in range(nextY):
        if abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ):
            return True
    return False


def queens(num = 8 , state = ()):
    for pos in range(num):
        if not conflict(state , pos):
            if len(state) == num -1:
                yield (pos,)
            else:
                for result in queens(num , state + (pos,)):
                    yield (pos, ) + result

五、结果


八皇后问题(python版理解)_第1张图片

最终8皇后共有92种解法,本文中代码出自《Python基础教程》

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