八皇后问题（python版理解）

一、 前言

八皇后问题是一个经典的数学问题，同时也是一个典型的回溯问题，《Python基础教程》简单的思路是：首先尝试在第1行放置第1个皇后，然后在第2行某个位置放置皇后，依次进行，当发现某行的所有位置都不能防止皇后时，回溯至上一行，试着将上一行皇后放置在其他位置，再考虑下一行皇后的位置。

二、规则描述

      首先由元组表示皇后的位置，如state[0] = 2，则表示第1行的皇后位于第3列，对于8皇后问题，需要取长度为8的元组表示8皇后的位置。同时该问题可扩展至n皇后。

      定义一个冲突函数描述已知皇后和下一个皇后的位置是否有冲突，该函数定义如下:

def conflict(state , nextX):
    nextY = len(state)
    for i in range(nextY):  #检查已知皇后在各行的位置是否与下一行成对角或同列关系
        if abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ):
            return True
    return False

     其中的表达式abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ) 理解为：对于第i行皇后的位置state[i]，检查其与第nextY行皇后位置nextX是否是位于同列或对角。同列时满足：state[i] = nextX，也即state[i]– nextX = 0；

对角时，有2种情形需要考虑，其一为第nextY行皇后位置出现于state[i]的右对角线，从水平方向上nextX - state[i] 与 垂直方向nextY – i 相等，即：nextX - state[i]= nextY – i

对于另一种情形，则第nextY行皇后位置出现于state[i]的左边对角线，从水平方向上state[i]- nextX  与 垂直方向nextY – i 相等，即：state[i]- nextX= nextY – i

    综上，对角线时满足，abs(state[i] - nextX) = nextY – i

三、基本情形

     从基本情形开始考虑：当剩余最后一个皇后时，遍历它所有可能的位置，并返回没有冲突发生的位置。函数如下。

def queens(num,state):
    if len(state) == num -1:  #num此处表示皇后总数
        for pos in range(num): #num此处表示遍历所有可能的位置
            if not conflict(state , pos):
                yield pos

四、递归

    基本情形完成之后，需要考虑此时所剩余的皇后不是最后一个的情形，此时由于需要递归调用queens函数，则可为前面queens函数添加else部分，遍历所有可能位置的可能情形，也即将 num中的所有可能位置加到当前元组中，直至遇到基本情形。代码如下：

else:
    for pos in range(num):
        if not conflict(state ,pos):
            for result in queens( num , state+ (pos ,)): #此处将所有可能进行递归
                yield (pos,) + result   

通过观察基本情形和递归调用的代码，发现可进一步简化代码，最终代码如下：

def conflict(state , nextX):
    nextY = len(state)
    for i in range(nextY):
        if abs(state[i] - nextX) in (0 , nextY - i ):
            return True
    return False


def queens(num = 8 , state = ()):
    for pos in range(num):
        if not conflict(state , pos):
            if len(state) == num -1:
                yield (pos,)
            else:
                for result in queens(num , state + (pos,)):
                    yield (pos, ) + result

五、结果

最终8皇后共有92种解法，本文中代码出自《Python基础教程》