动态规划之n个元素出栈顺序种数

1. 问题描述
   n个元素依次进栈，共有多少种出栈顺序？

2. 算法分析
   1个元素进栈，有1种出栈顺序；2个元素进栈，有2种出栈顺序；3个元素进栈，有5种出栈顺序
   我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出：

                                f(1) = 1     //即 1
                                f(2) = 2     //即 12、21
                                f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231
   

   然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑：元素a只可能出现在1号位置，2号位置，3号位置和4号位置(很容易理解，一共就4个位置，比如abcd,元素a就在1号位置)。
   分析：

   1) 如果元素a在1号位置，那么只可能a进栈，马上出栈，此时还剩元素b、c、d等待操作，就是子问题f(3)；
   2) 如果元素a在2号位置，那么一定有一个元素比a先出栈，即有f(1)种可能顺序（只能是b），还剩c、d，即f(2)， 根据乘法原理，一共的顺序个数为f(1) * f(2)；
   3) 如果元素a在3号位置，那么一定有两个元素比1先出栈，即有f(2)种可能顺序（只能是b、c），还剩d，即f(1)，
   根据乘法原理，一共的顺序个数为f(2) * f(1)；
   4) 如果元素a在4号位置，那么一定是a先进栈，最后出栈，那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解，即 f(3)；
   结合所有情况，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
   为了规整化，我们定义f(0) = 1；于是f(4)可以重新写为：
   f(4) = f(0)f(3) + f(1)*f(2) + f(2) f(1) + f(3)*f(0)
   然后我们推广到n，推广思路和n=4时完全一样，于是我们可以得到：
   f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0)
   即
   
   具体可以搜索Catalan数

3. 程序代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    int* arr = new int[n+1];
    memset(arr, 0, sizeof(int)*(n+1)); 
    arr[0] = 1;
    arr[1] = 1; 

    //递推关系式 
    for (int i=2; i<=n; ++i)
    {
        for (int j=0; j<i; ++j)
        {
            arr[i] += arr[j] * arr[i-1-j]; 
        }
    }

    cout << arr[n] << endl;

    delete[] arr; 
    return 0;
}