R中的矩阵运算-三角分解
基本概念（三角分解相关）：
在数学中的矩阵论里，置换矩阵是一种系数只由0和1组成的方块矩阵。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是0。在线性代数中，每个n阶的置换矩阵都代表了一个对n个元素（n维空间的基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。
设A是一个方块矩阵。A的LU分解是将它分解成如下形式：
其中L和U分别是下三角矩阵和上三角矩阵。
例如对于一个的矩阵，就有
- 。
一个LDU分解是一个如下形式的分解：
其中D是对角矩阵，L和U是单位三角矩阵（对角线上全是1的三角矩阵）。
一个LUP分解是一个如下形式的分解：
其中L和U仍是三角矩阵，P是一个置换矩阵。
一个充分消元的LU分解为如下形式：
Cholesky分解
这个分解被称作Cholesky分解。对每一个正定矩阵，Cholesky分解都唯一存在。
矩阵的满秩分解
1. 定义：设
，若存在矩阵
及
，使得
，则称其为的一个满秩分解。
说明：（1）
为列满秩矩阵，即列数等于秩；
为行满秩矩阵，即行数等于秩。
（2）满秩分解不唯一。（
阶可逆方阵），则
，且
2.当A是满秩（列满秩或行满秩）矩阵时，A可分解为单位矩阵与A本身的乘积，称此时的满秩分解为平凡分解。
R命令：
1)LU分解（包含满秩分解）
library(Matrix)
> m
3 x 3 Matrix of class "dgeMatrix"
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -1 3
[2,] 1 2 1
[3,] 2 4 2
> l <- lu(m)
> l
'MatrixFactorization' of Formal class 'denseLU' [package "Matrix"] with 3 slots
..@ x : num [1:9] 2 1 0.5 -1 5 0.5 3 -1 0
..@ perm: int [1:3] 1 3 3
..@ Dim : int [1:2] 3 3
> LU <- expand(l) #生成P,L,U
> LU
$L
3 x 3 Matrix of class "dtrMatrix" (unitriangular)
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0 . .
[2,] 1.0 1.0 .
[3,] 0.5 0.5 1.0
$U
3 x 3 Matrix of class "dtrMatrix"
[,1] [,2] [,3]
[1,] 2 -1 3
[2,] . 5 -1
[3,] . . 0
$P
3 x 3 sparse Matrix of class "pMatrix"
[1,] | . .
[2,] . . |
[3,] . | .
A = P*L*U
P为置换矩阵，L为下单位三角矩阵，U为上三角矩阵；
The decomposition is of the form
A = P L U
where typically all matrices are of size n by n, and the matrix P is a permutation matrix, L is lower triangular and U is upper triangular (both of class dtrMatrix).
Note that the dense decomposition is also implemented for a m by n matrix A, when m != n.
If m < n (“wide case”), U is m by n, and hence not triangular.
If m > n (“long case”), L is m by n, and hence not triangular.
2)Choleskey分解
对于正定矩阵A，可对其进行Choleskey分解，即：A=P'P，其中P为上三角矩阵，在R中可以用函数chol()进行Choleskey分解，例如：
> A
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> chol(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1.414214 0.7071068 0.7071068 0.7071068
[2,] 0.000000 1.2247449 0.4082483 0.4082483
[3,] 0.000000 0.0000000 1.1547005 0.2886751
[4,] 0.000000 0.0000000 0.0000000 1.1180340
> t(chol(A))%*%chol(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
> crossprod(chol(A),chol(A))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 2 1 1 1
[2,] 1 2 1 1
[3,] 1 1 2 1
[4,] 1 1 1 2
若矩阵为对称正定矩阵，可以利用Choleskey分解求行列式的值，如：
> prod(diag(chol(A))^2)
[1] 5
> det(A)
[1] 5
若矩阵为对称正定矩阵，可以利用Choleskey分解求矩阵的逆，这时用函数chol2inv()，这种用法更有效。如：
> chol2inv(chol(A))
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8
> solve(A)
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 0.8 -0.2 -0.2 -0.2
[2,] -0.2 0.8 -0.2 -0.2
[3,] -0.2 -0.2 0.8 -0.2
[4,] -0.2 -0.2 -0.2 0.8