BZOJ2440 莫比乌斯反演 + 二分+ 容斥

第一次做莫比乌斯反演，并不太懂，先记录一下，

x以内i*i的倍数个数为：n/（i*i)；故有  Q(x) = sig(mou[i] * n / (i* i));

根据容斥原理可知 对于√x以内的所有质数 x以内的无平方因子数=无需是任何质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...

原题解

题目分析：题目要求第k个无平方因子数，我们显然不可能把答案都求出来再查询，这个数据范围首先想到的是二分，对于第1-n的无平方因子数我们可以用容斥定理得到，拿总的个数减去4的倍数(-n/4个)，减去9的倍数(-n/9个)，但是36既是4的倍数又是9的倍数，被减了两次，要加回来(+n/36)，这样容斥就出来了，前面的符号正好和数字开根号后对应的莫比乌斯函数相同，这样问题就简单了，还有一点要说明的是二分的上界开多大，这个也影响着莫比乌斯函数要开多大，我们不妨假设第k个无平方因子数不会超过2k，具体证明我也不会，但是最小的平方因子是4，也就是说每4个数里必然有一个是平方因子数，同时因为平方因子越往后越大，可以yy出平均每四个数有不超过两个平方因子数这个结论，所以第k个无平方因子数不会超过2k，(其实打表也可验证)，所以二分上界取2k+1即可，莫比乌斯函数开sqrt(2e9)差不多5e4的样子 

#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100100
//#define for(i , l , r) for(int i = l ; i <= r ; i ++ )
#define LL long long
#define mem(a) memset(a , 0 , sizeof(a));
int mou[MAXN] , p[MAXN];
bool prime[MAXN];
void mobius()
{
    int pnum = 0;
    memset(prime , true , sizeof(prime));
    mou[1] = 1;
 //   time_t per = clock();
    for(int i = 2 ; i < MAXN ; i ++)
    {
        if(prime[i])
        {
            mou[i] = -1;
            p[pnum++] = i;
        }
        for(int j = 0 ; j < pnum && i * p[j] < MAXN ; j ++)
        {
            prime[i * p[j]] = false;
            if(i % p[j] == 0)
            {
                mou[i*p[j]] = 0;
                break;
            }
            mou[i*p[j]] = -mou[i];
        }
    }
  //  time_t now = clock();
  //  cout << now - per << endl;
}

LL solve(LL mid)
{
    LL pos = 0;
    for(int i = 1 ; i * i <= mid ; i ++)
    {
        pos += (LL)mou[i]*(mid/(i*i));
    }
    return pos;
}

int main()
{
    mobius();
    int t ;
    LL k;
    scanf("%d" , &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld" , &k);
        LL l = 1 , r = 2*k + 1;
        while(l <= r)
        {
            LL mid = (l + r) >> 1;
            if(solve(mid) < k)
                l = mid + 1;
            else r = mid - 1;
        }
        printf("%lld\n" , l);
    }
    return 0;
}