两个连续独立随机变量的商的概率密度函数

转帖原理

Quotient of two random variables

Let X and Y be independent random variables having hte respective pdf’s fX(x) and fY(y) . Then the cdf FZ(z) of the quotient:

Z=YX

can be computed as follows.

FZ(z)=P(YX≤z)=P(Y≥zX,X<0)+P(Y≤zX,X>0)

=∫0−∞(∫+∞zxfY(y)dy)fX(x)dx+∫∞0(∫zx−∞fY(y)dy)fX(x)dx

By differentiating, we can obtain

fZ(z)=dFZ(z)dz=∫0−∞(−xfY(xz))fX(x)dx+∫+∞0(xfY(xz))fX(x)dx

=∫+∞−∞|x|fY(xz)fX(x)dx

简单例题

如果 X 和 Y 是相互独立的标准正态分布的随机变量,求:

T=A+XB+Y,(A,B是常数)

的分布密度函数。
解:

标准正态分布密度函数为:

f0(x)=e−x222π−−√

设 U=A+X,V=B+X ，则 T=U/V , 两个变量的分布密度函数分布是：

fU(u)=e−12(u−A)22π−−√,fV(v)=e−12(v−B)22π−−√

直接对 U,V 及其分布密度函数使用前面的结果得到 T 的

fT(t)=∫+∞−∞|v|fU(vt)fV(v)dv

求这个积分就可以了。这个不用软件很难弄, 用了软件也很烦

fT(t)=π√(t2+1)e−(A−Bt)22(t2+1)−e12(−A2−B2)⎛⎝⎜⎜⎜π√e(At+B)22(t2+1)(At+B)∫0At+B2√t2+1√e−u2du+2√t2+1−−−−−√⎞⎠⎟⎟⎟2√π(t2+1)3/2

=e−(A−Bt)22(t2+1)2π−−√t2+1−−−−−√−e−A22−B22πt2+π−e−(A−Bt)22(t2+1)(At+B)∫At+B2√t2+1√0e−u2du2π−−√(t2+1)3/2

我直接算,不用前面的公式,得到更简单的结果,只有第一项（这个是错的）:

fT(t)=e−(A−Bt)22(t2+1)2π−−√t2+1−−−−−√

我规规矩矩地用这里的方法,求边际分布的方式,得到密度函数是一个分段函数,这一次应该是正确的了:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪fT(t)=e12(−A2−(A−Bt)2t2+1−B2)⎛⎝2√t2+1−−−−−√e(A−Bt)22(t2+1)−π√e12(A2+B2)(At+B)erfc(At+B2√t2+1√)⎞⎠22√π(t2+1)3/2fT(t)=e12(−A2−B2)⎛⎝π√e(At+B)22(t2+1)(At+B)erf(At+B2√t2+1√)+π√Be(At+B)22(t2+1)+π√Ate(At+B)22(t2+1)+2√t2+1−−−−−√⎞⎠22√π(t2+1)3/2t<−Bt>−B

综合上述，可以看出，这个问题看着简单，结果是繁琐的。

第一种解法，使用了商的pdf公式还是对计算有所简化的。而后面一种，直接用随机变量复合函数的pdf计算反而得到不容易化简的结果。努力化简，似乎应该能证明等价？