陶哲轩实分析 附录 A 习题解答

陶哲轩实分析 附录 A.1 习题解答

A.1.1

X Y 同为真或 X Y 同为假。

A.1.2

(X 为真且 Y 为假) 或 (X 为假且 Y 为真)

A.1.3

是逻辑等价的。因为逻辑等价需满足两个条件：
1. X 为真 -> Y 为真
2. Y 为真 -> X 为真

现在第一个条件已经满足，只需证明第二个条件也是满足的。反证法，假设第二个条件不满足。
Y 为真时 X 为假。由题目条件可知。X 为假 -> Y 为假。 与 Y 为真的假设矛盾。所以第二个条件也满足。

A.1.4

否，因为当 X 为假时，Y 可为真

A.1.5

是。证明 XYZ 逻辑等价只需证明 XZ 逻辑等价。
X->Y, Y->Z 所以 X->Z
Z->Y, Y->X 所以 Z->X
所以 X <–> Z

A.1.6

是的。以证 XY 逻辑等价为例。

Y->Z, Z->X 所以 Y->X
又已知 X->Y
所以 X <–> Y

陶哲轩实分析 附录 A.5 习题解答

A.5.1

(a) 假命题
(b) 假命题
(c) 真命题
(d) 真命题
(e) 假命题

陶哲轩实分析 附录 A.7 习题解答

A.7.1

已知 a=b , c=d
设 f(x)=x+c
那么由于 a=b
所以 f(a)=f(b) (带入公理)
也就是 a+c=b+c
设 g(x)=a+x
那么 g(c)=g(d) (带入公理)
所以 a+c=a+d
所以 a+d=b+c (传递公理)