从图像空间域滤波到频域滤波

     频域滤波的快速实现是工程领域的里程碑。频域滤波最让工程师兴奋的原因来自于这个公式：

f(x)*g(y)<-->F(u)G(v)

    这说明空间域中的复杂的卷积算子，变换到频域中就成了简单的乘法，这样不仅计算简单，而且工程上易于实现。在FFT和快速DCT（余弦变换）的数字实现之前，频域变换的计算是很头疼的事情，在计算效率上并不比普通卷积快多少；在FFT和快读DCT实现之后，频域信号处理几乎无处不在。

    空间域滤波的算子可以变成频域滤波算子。假设当前图像尺寸为512x512，滤波算子大小为3x3，显然直接对滤波算子进行频域转换后的结果仍然为3x3，这是无法相乘的。这需要从定义出发来解释。

     卷积的定义是：f(t)*g(t)= 如果f和g是周期不同的周期函数，那么我们要用0补全函数周期，保证补全后的函数f’和g’有相同的周期，然后再进行卷积；否则不能保证f和g函数在同一个周期内进行卷积，导致不同周期的滤波结果混淆起来。

    回到原始的空间滤波上讲，平时我们的操作是遍历当前图形512x512的每个像素，用3x3的模板对当前像素领域进行卷积操作。其实这是简化后的操作，真正的操作其实是，构建512x512大小的卷积模板，其左上角3x3元素是执行空间域滤波操作的算子元素，剩下的元素全部为0，用这个512x512的卷积模板对图像进行二维卷积。由于除了3x3以外的元素都是0，所以我们实现的时候，只需要计算3x3模板范围的值，看起来就像只用3x3卷积模板对当前像素邻域做操作。

    明白了512x512图像的空间滤波算子其实也是512x512大小之后，那么我们就可以实现从空间域滤波到频域滤波。构建一个512x512的滤波算子，把3x3模板参数放在算子左上角（放在不同位置会导致滤波结果变得奇怪，比如图像被循环位移），然后进行频域转换生成512x512的频域模板，将其与频域图像相乘（注意如果频域图像中心化，那么频域模板也要中心化），然后还原到空间域图像，就完成一次和空间域滤波结果相同的频域滤波。

   频域滤波就完美无瑕了吗？当然不是。假设我的图像大小为512x512，灰度范围为0~255，那么每个像素只需要用1 byte表示，共512x512 bytes；进行频域滤波之后，我需要用两个float甚至double矩阵来表示频域图像的实部和虚部，这就需要512x512x4x2或者512x512x8x2 bytes，一下子内存消耗多了8~16倍；如果频域转换精度不够高的话，经过频域转换再还原到空间域的图像会有信号损失，而不会完全还原到原始图像。请注意，计算机常用的压缩算法会用到频域转换，原因是频率滤波后，大部分图像信息集中到原点附近和其他少数几个区域，大部分区域是不重要的、或者值为0的，这样就可以大大减小数据的存储尺寸；然而在实际的计算中，压缩数据一般要解压为原始数据才能执行相关的计算和显示操作，因此频域方法可以助力数据存储压缩，却无助于减小计算中的数据的大小。