平均要取到第几个随机数才会让序列第一次下降

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1，考虑这么一个游戏：不断在区间 [0, 1] 中概率均等地选取随机数，直到所取的数第一次比上一个数小。那么，平均需要抽取多少个随机数，才会出现这样的情况？

答案：
记 Pi 为第 i 次才取到小于前一个数的数的概率。则我们要求的就是

P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …

妙就妙在下面这个变形（在继续看下去之前你能想到吗）：

P1 + 2 * P2 + 3 * P3 + 4 * P4 + …

= (P1 + P2 + P3 + …) + (P2 + P3 + …) + (P3 + …) + …

= P(取数次数≥1) + P(取数次数≥2) + P(取数次数≥3) + …

显然，取数次数是一定大于等于 1 的。事实上，取数次数也是一定大于等于 2 的。要想取到第 3 个数，则前面两个数必须是递增的，其概率是 1/2 ；取数次数达到了 4 次或者更多，当且仅当前三个数是递增的，其概率为 1/3! = 1/6
因此，本题的答案为：

1 + 1 + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

没错，这个问题的答案竟然是 e 。

2，类似的问题：
随便取一个 0 到 1 之间的数，再加上另一个 0 到 1 之间的随机数，然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数??直到和超过 1 为止。一个有趣的问题：平均需要加多少次，才能让和超过 1 呢？
答案是 e 次。

    为了证明这一点，让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积，因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。
类似地，三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。
这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：

∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6

    可以想到，四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”，它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”

∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

    依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

    因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为

∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e